2021考研数学 高数第二章 导数与微分

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1. 背景

前段时间复习完了高数第二章的内容，我参考《复习全书·基础篇》和老师讲课的内容对这一章的知识点进行了整理，形成了这篇笔记，方便在移动设备上进行访问和后续的补充修改。

2. 导数与微分的概念

2.1. 导数与微分的概念

• 导数
  • 概念：函数在某一点的变化率
• 微分
  • 概念：函数值在某一点的改变量的近似值

2.2. 连续、可导、可微之间的关系

• 连续与可导

  • 连续不一定可导
  • 可导必定连续

• 连续与可微

  • 连续不一定可微
  • 可微必定连续

• 可导与可微(在一元函数中)

  • 可微必定可导
  • 可导必定可微
  • 可导是可微的充分必要条件

注：在多元函数中，可导（偏导）不一定可微，可导（偏导）也不一定连续

• 证明可导必可微

根据可导定义，令

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=A$$

则有

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y-A\Delta x}{\Delta x}=0$$

即有$\Delta y-A\Delta x=o(\Delta x)$，故$\Delta y=A\Delta +o(\Delta x)$，其中$A$为常数，满足可微的定义，因此，可导必可微。

• 证明可微必可导

根据可微定义

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$

则

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{A\Delta x+o(\Delta x)}{\Delta x}=A$$

导数存在，故满足可导的定义，因此可微必可导，且$f^{\prime }(x)=A$.

• 常见错误
  • $f(x)$在某邻域可导
  • 不能推出$f^{\prime }(x)$在$x_0$点连续
  • 不能推出$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$存在
  • 题型：第一章例$33$，考察洛必达法则的使用条件

2.3. 导数的几何意义

导数$f^{\prime }(x_0)$在几何上表示曲线$y=f(x)$在点$(x_0,f(x_0))$处切线的斜率。

注：法线的斜率是切线斜率的负倒数。

2.4. 相关变化率

• 定义

设$x=x(t)$及$y=y(t)$都是可导函数，而变量$x$与$y$之间存在某种关系，从而他们的变化率$\frac{dx}{dt}$与$\frac{dy}{dt}$之间也存在一定关系，这样两个相互依赖的变化率成为相关变化率

• 例题（第二章例$29$）

已知动点$P$在曲线$y=x^3$上运动，记坐标原点与点$P$间的距离为$l$。若点$P$的横坐标对时间的变化率为常数$v_0$，则当点$P$运动到点$(1,1)$时，$l$对时间的变化率是$\underline{}$.

解：

已知$\frac{dx}{dv}=v_0$，$l=\sqrt{x^2+x^6}$，则

$$\frac{dl}{dt}=\frac{dl}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=\frac{2x+6x^5}{2\sqrt{x^2+x^6}}\cdot v_0$$

带入数值$x=1$，则

$$\frac{dl}{dt}=\frac{1+3}{\sqrt{2}}{v}_0=2\sqrt{2}{v}_0$$

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3. 导数公式及求导法则

3.1. 基本初等函数的导数公式

$$(C{)}^{\prime }=0\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

$$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln (a)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

$$({\log }_a^x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln (a)}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

$$(\ln \mid x\mid {)}^{\prime }=\frac{1}{x}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos (x)\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

$$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin (x)\text{\hspace{1em}(2.8)}$$

$$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^2(x)\text{\hspace{1em}(2.9)}$$

$$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^2(x)\text{\hspace{1em}(2.10)}$$

$$(\sec x{)}^{\prime }=\sec (x)\tan (x)\text{\hspace{1em}(2.11)}$$

$$(\csc x{)}^{\prime }={\csc }^2(x)\cot (x)\text{\hspace{1em}(2.12)}$$

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{\hspace{1em}(2.13)}$$

$$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{\hspace{1em}(2.14)}$$

$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}\text{\hspace{1em}(2.15)}$$

$$(\mathrm{arcctg}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\text{\hspace{1em}(2.16)}$$

注：$\sec (x)=\frac{1}{\cos (x)}$，$\csc (x)=\frac{1}{\sin (x)}$

3.2. 求导法则

3.2.1. 有理运算法则

设$u=u(x),v=v(x)$在$x$处可导，则

$$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }\text{\hspace{1em}(2.17)}$$

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\text{\hspace{1em}(2.18)}$$

$$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\text{\hspace{1em}(2.19)}$$

3.2.2. 复合函数求导法

设$u=\phi (x)$在$x$处可导，$y=f(u)$在对应点可导，则复合函数$y=f[\phi (x)]$在$x$处可导，则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f^{\prime }(u){\phi }^{\prime }(x)\text{\hspace{1em}(2.20)}$$

• 推论

一个可导的奇（偶）函数，求一次导，其奇偶性发生一次变化

• 证明推论

1. 若$f(x)$为奇函数。

$f(x)$满足$f(-x)=-f(x)$,又根据复合函数求导法则，得到$f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$，则

$$[f(-x){]}^{\prime }=-[-f(x){]}^{\prime }=[f(x){]}^{\prime }$$

即$f^{\prime }(x)$为偶函数

2. 若$f(x)$为偶函数。

$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$,又根据复合函数求导法则，得到$f^{\prime }(-x)=-f^{\prime }(x)$，则

$$[f(-x){]}^{\prime }=-[f(x){]}^{\prime }$$

即$f^{\prime }(x)$为奇函数

3.2.3. 隐函数求导法

设$y=y(x)$是由方程$F(x,y)=x$所确定的可导函数，为求得$y^{\prime }$，可在方程$F(x,y)=0$两边对$x$求导，可得到一个含有$y^{\prime }$的方程，从中解出$y^{\prime }$即可。

注：$y^{\prime }$也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式2.21得到。

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{\prime }}{F_y^{\prime }}\text{\hspace{1em}(2.21)}$$

3.2.4. 反函数的导数

若$y=f(x)$在某区间内可导，且$f^{\prime }(x)\ne 0$，则其反函数$x=\phi (x)$在对应区间内也可导，且

$$\phi (y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}\text{\hspace{1em}(2.22)}$$

即

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

3.2.5. 参数方程求导法

设$y=y(x)$是由参数方程

$$\{\begin{array}{rl}& x=\phi (x)\\ & y=\psi (x)\end{array},(\alpha <t<\beta )$$

确定的函数，则

1. 若$\phi (x)$和$\psi (x)$都可导，且$\phi (t)\ne 0$，则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\psi (x)}{\phi (x)}\text{\hspace{1em}(2.23)}$$

2. 若$\phi (x)$和$\psi (x)$都二阶可导，且$\phi (t)\ne 0$，则

$$\frac{d^{2}y}{d^{2}x}=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx})\cdot \frac{dt}{dx}=\frac{d}{dt}(\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)})\cdot \frac{1}{{\phi }^{\prime }(x)}=\frac{{\psi }^{\prime \prime }(t){\phi }^{\prime }(x)-{\phi }^{\prime \prime }(x){\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^3(t)}\text{\hspace{1em}(2.24)}$$

3.2.5.1. 极坐标方程转化为参数方程形式

极坐标性质

$$\{\begin{array}{rl}{\rho }^2& =x^2+y^2\\ \tan \theta & =\frac{y}{x}(x\ne 0)\end{array}\text{\hspace{1em}(2.25)}$$

极坐标转化为直角坐标的转化公式

$$\{\begin{array}{r}x=\rho \sin \theta \\ y=\rho \cos \theta \end{array}\text{\hspace{1em}(2.26)}$$

已知经过点$M({\rho }_o,{\theta }_0)$，且直线与极轴所成角为$\alpha$的直线$l$，其极坐标方程为

$$\rho \sin (\alpha -\theta )={\rho }_0\sin ({\alpha }_0-{\theta }_0)$$

即

$$\rho ={\rho }_0\sec ({\alpha }_0-{\theta }_0)$$

转化为参数方程形式

$$\{\begin{array}{r}x={\rho }_0\sec ({\alpha }_0-{\theta }_0)\sin (\theta )\\ y={\rho }_0\sec ({\alpha }_0-{\theta }_0)\cos (\theta )\end{array}$$

3.2.6. 对数求导法

如果$y=y(x)$的表达式由多个因式的乘除、乘幂构成，或是幂指函数的形式，则可先将函数去对数，然后两边对$x$求导。

注：对等式两边取对数，需要满足等式两边都大于0的条件

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4. 高阶导数

4.1. 高阶导数的定义

含义：一般地，函数$y=f(x)$的$n$阶导数为$y^{(n)}=[f^{(n-1)}(x){]}^{\prime }$，也可记为$f^{(n)}(x)$或$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$，即$n$阶导数就是$n-1$阶导函数的导数。

注：如果函数在点$x$处$n$阶可导，则在点$x$的某邻域内$f(x)$必定具有一切低于$n$阶的导数。

4.2. 常用的高阶导数公式

$$(\sin x{)}^{(n)}=\sin (x+n\cdot \frac{\pi }{2})\text{\hspace{1em}(2.27)}$$

$$(cosx{)}^{(n)}=\cos (x+n\cdot \frac{\pi }{2})\text{\hspace{1em}(2.28)}$$

$$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}\text{\hspace{1em}(2.29)}$$

$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(k)}{v}^{(n-k)}\text{\hspace{1em}(2.30)}$$

式2.24可类比$n$阶二项式公式

$$(u+v{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^k{v}^{n-k}\text{\hspace{1em}(2.31)}$$

• 推论

若$y=\sin (ax+b)$，则
$$y^{(n)}=a^n\sin (ax+b+n\cdot \frac{\pi }{2})\text{\hspace{1em}(2.32)}$$

• 证明

通过归纳法，求$y^{\prime }$和$y^{\prime \prime }$，推出$y^{(n)}$.

4.3. 求高阶导数的方法

1. 公式法，带入高阶导数公式
2. 归纳法，求$y^{\prime }$，$y^{\prime \prime }$，归纳$y^{(n)}$

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5. 总结

1. 导数
   • 定义
   • 求导法则
   • 高阶导数
2. 微分
   • 定义
   • 微分与可导的关系
   • 微分方程求导