西瓜书学习-神经网络

感知机与多层网络

感知机

感知机不能实现异或这样简单的非线性可分问题。

感知机和逻辑回归函数的异同

损失函数两者不同：逻辑斯蒂回归使用极大似然（对数损失函数），感知机使用的是均方损失函数（即错误点到分离平面的距离，最小化这个值）

逻辑斯蒂比感知机的优点在于对于激活函数的改进。

前者为sigmoid function，后者为阶跃函数。这就导致LR是连续可导，而阶跃函数则没有这个性质。

LR使得最终结果有了概率解释的能力（将结果限制在0-1之间），sigmoid为平滑函数，能够得到更好的分类结果，而step function为分段函数，对于分类的结果处理比较粗糙，非0即1，而不是返回一个分类的概率。

多层神经网络

使用两层感知机就可以解决异或问题。

例子一

从隐层两个激励函数提取特征将非线性问题转化为线性问题

位于红色区域的两个点判断类别为1，红色区域外边的两个点判别类别为0，可以看一下f1=x1+x2-0.5 和 f2 = -x1-x2+1.5 正是红色区域的两条边界线，就f1而言，在f1左下方的点都为负，f1右上方都为正，再看f2，如果f2是x1+x2-1.5，则仍然与f1相同，左下方为负，右上方为正，但这里对f2取了-1，所以对于f2而言，f2左下方为正，右上方为负，这样的话，对于红色区域的点来说，他们带入f1，f2永远为正，从而由sigmoid函数可以得到两个1，而对于红色区域外的点，他们的f1，f2永远一正一负，从而sigmoid函数永远得到一个1一个0，这样两个1和一个1一个0则转化为一个简单的线性可分问题，从而分类。

例子二

例子二可以解释为从三维提取特征来解决问题

其中直线上的数字为权重。圆圈中的数字为阀值。第二层，如果输入大于1.5则输出1，否则0；第三层，如果输入大于0.5，则输出1，否则0. 我们来一步步算。 第一层到第二层（阀值1.5）

第二层到第三层(阀值0.5)

可以看到第三层输出就是我们所要的xor的答案。 经过变换后的数据是线性可分的（n维，比如本例中可以用平面），如图所示：

不要误解是指这个函数去激活什么，而是指如何把“激活的神经元的特征”通过函数把特征保留并映射出来，这是神经网络能解决非线性问题关键。

误差逆传播算法

假定神经网络的输出为 ,则均方误差为，下面以隐层到输出的来举例子

然后根据链式法则：

已知 假设隐层和输出层神经元都使用Sigmoid函数，根据Sigmod的性质：

有：

则有

可得基于单个的 Ek的反向传播算法

基于累积误差最小化的更新规则的最优化目标：

区别：标准 BP 算法往往需进行更多次数的法代.累积 BP 算法直接针对累积误差最小化，它在读取整个训练集 D 一遍后才对参数进行更新，其参数更新的频率低得多.但在很多任务中，累积误差下降到一定程度之后，进一步下降会非常缓慢，这时标准 BP 往往会更快获得较好的解，尤其是在训练集 D 非常大时更明显。类似于随机梯度下降(stochastic gradientdescent，简称 SGD)与标准梯度下降之间的区别。

防止过拟合方法

第一种策略是"早停" (early stopping): 将数据分成训练集和验证集，训练、集用来计算梯度、更新连接权和阔值，验证集用来估计误差，若训练集误差降低但验证集误差升高，则停止训练，同时返回具有最小验证集误差的连接权和阈值。

第二种策略是"正则化" (regularization) 误差目标函数改为：

全局最小和局部最小

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