成考数学二-极限与连续-极限

极限

1. 函数在$x\to x_0$时的极限
   1、函数在一点的极限
   定义：设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，若当x“无限趋于”$x_0$时，其对应的函数值$f(x)$“无限趋于”一个确定的数 A，则称函数$f(x)$在$x\to x_0$时的极限是A ，记作$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$
   2、函数在一点的单侧极限
     函数在一点的左极限
       定义：设函数$f(x)$在$x_0$的左侧附近有定义，若当$x<x_0$且“无限趋于”$x_0$时，其对应的函数值$f(x)$“无限趋于”一个确定的常数 A，则称函数$f(x)$在$x\to x_0$时的左极限是 A，记作$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$.
     函数在一点的右极限
       定义：设函数$f(x)$在$x_0$的右侧附近有定义，若当$x>x_0$且“无限趋于”$x_0$时，其对应的函数值$f(x)$“无限趋于”一个确定的常数 A，则称函数$f(x)$在$x\to x_0$时的右极限是 A，记作$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$.
   3、函数在一点的极限与左、右极限的关系
     定理：设函数$f(x)$在$x_0$点附近有定义，则$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$的充分必要条件是：$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=A$，且$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A$（左极限等于右极限）
2. 函数在无穷远的极限
   函数在$x\to \infty$时的极限
   通俗地说，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$的含义就是当|x|无限增大时，与x对应的函数值$f(x)$无限趋于常数 A.
     定理：设函数f(x)在无穷远处有定义，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A$的充分必要条件是：$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$且 $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A$。
3. 函数极限的性质
   1、极限值的唯一性
   定理：若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，则其值唯一。本定理说明，如果$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$，且 $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=B$，则A=B.
   2、函数在极限存在点附近的有界性
   定理：若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，则函数$f(x)$在$x_0$的一个去心邻域内有界.
   函数$f(x)$在$x_0$的一个去心邻域内有界指的是：存在$M>0，\delta >0$，使得对任意的$x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$,都有$|f(x)|<M$.
   对于无穷远来说，如果$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$存在，就会存在$M>0，X>0$，使得对任意的$x\in (-\infty ,-X)\cup (X,+\infty )$，都有$|f(x)|<M$.
   3、函数极限的保号性
   定理：若极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,且A>0$，则函数$f(x)$在$x_0$的一个去心邻域内大于零；若在$x_0$的一个去心邻域内$f(x)\ge 0$，且极限$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$存在，则$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)\ge 0$.
4. 函数极限的运算
   1、极限的四则运算
   定理：若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=B$,则
   $\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
   $\underset{x\to x_0}{\lim }[f(x)g(x)]=AB$
   $(\underset{x\to x_0}{\lim }[kf(x)]=kA,k\in R)$
   $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$
   "$\frac{0}{0}$"型解题技巧：趋于某一具体数时，须化简求解。
   "$\frac{\infty }{\infty }$"型解题技巧：趋于无穷时，当分子分母最高次幂相等&分母的最高次幂大于分子的最高次幂时，同除以最高次幂既得解。
   2、复合函数的极限
   复合函数常采用换元法求极限，结论：若$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=u_0,\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$， 则$\underset{x\to x_0}{\lim }f(g(x))\stackrel{u=g(x)}{⟹}\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$
5. 两个重要极限
   $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1⟹\underset{x\to 0}{\lim }\frac{tanx}{x}=1$
   $\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e⟹\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$
6. 无穷小量与无穷大量
   1.无穷小量的概念
   定义：若$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$，则称函数$f(x)$在$x\to x_0$时是一个无穷小量，记作$f(x)=o(1)(x\to x_0)$
   一个函数$f(x)$是否是无穷小量，一定要指明极限过程.
   同一极限过程下的有限个无穷小量的和与积仍然还是无穷小量.
   有界函数与无穷小的积仍为无穷小.
   2.无穷大量的概念
   定义：若函数$\frac{1}{f(x)}$ 在$x\to x_0$时是一个无穷小量，则称函数$f(x)$在$x\to x_0$时是一个无穷大量，记作$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$.
   当x无限趋于$x_0$时，若 $\frac{1}{f(x)}>0$且无限趋于 0，则称函数$f(x)$在$x\to x_0$时是一个正无穷大量，记作$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=+\infty$ .
   当x无限趋于$x_0$时，若 $\frac{1}{f(x)}<0$且无限趋于 0，则称$f(x)$在$x\to x_0$时是一个负无穷大量，记作$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=-\infty$ .
   从无穷大量的定义可以看出：无穷大量的倒数是同一极限过程下的无穷小量，非零无穷小量的倒数
   是同一极限过程下的无穷大量.
   3.无穷小量的比较
   定义：设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=0$，$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=0$若$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c$则：
   ⑴当 $c=0$时，称 $f(x)$ 与$g(x)$在$x\to x_0$ 时的高阶无穷小量，记作$f(x)=o(g(x))(x\to x_0)$
   ⑵当 $c\ne 0$且 $c\ne 1$ 时，称$f(x)$ 与$g(x)$ 在$x\to x_0$时是同阶无穷小量.
   ⑶当 $c=1$ 时，称$f(x)$ 与$g(x)$在$x\to x_0$时是等价无穷小量，记作$f(x)\sim g(x)(x\to x_0)$
   常用的等价无穷小：
   当$x\to 0$时，有
   $sinx\sim x1-cosx\sim \frac{x^2}{2}tanx\sim xarcsinx\sim xarctanx\sim xln(1+x)\sim x{e}^x-1\sim x{a}^x-1\sim xlna\sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{2}$