MATLAB | 世界杯来用MATLAB画个足球玩叭~

世界杯教你用MATLAB画个超逼真的足球，

需要准备Partial Differential Equation Toolbox工具箱，同时因为用到了polyshape类所以至少需要R2017b版本。

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绘制讲解

数据来源及说明

我是真的不想写注释了太麻烦了，给大家讲一下我的思路希望能够看懂，首先足球的数据点是通过:

[B,XYZ]=bucky;

导入的，但是导入的只有边链接信息，并没有给出哪几个点构成正五边形哪几个边构成正六边形。

spy(B)

通过spy展示一下稀疏矩阵发现，似乎每5行数据代表一个正五边形，但是正六边形的边的编号还是无法获得：

展示一下部分连接情况：

[B,XYZ]=bucky;
spy(B) 

G = graph(B);
A = adjacency(G);
H = graph(A(1:30,1:30));
h = plot(H);
axis equal

我们发现很多正六边形顶点的编号都完全不沾边，打算硬算。

硬算顶点连接情况

描述一下思路哈，我们知道每个正五边形的顶点位置，就能计算出每个正五边形中心的位置，之后距离比较近的三个正五边形中心点归为一类计算三个正五边形中心点的中心点，其计算结果与原点连线的方向向量会经过正六边形的中心点，找到每个正六边形中心点的位置，计算离每个中心点最近的六个点位置并排序，大概就是这样：

1. 计算五边形顶点
2. 计算五边形中心
3. 最近三个五边形归为一组
4. 计算每组中心
5. 找到离六边形中心最近的六个点
6. 为六边形点排序、捋顺

以上过程通过这段代码完成：

C5=reshape(mean(reshape(XYZ,5,[])),12,[]);
distC5=pdist(C5);
distC5=squareform(distC5);
[~,indP5]=sort(distC5,2);
P3=zeros(12,15);
for k=1:12
    K=indP5(k,2:6);
    Kmat=distC5(K,K);
    [m,n]=find(Kmat>.5&Kmat<1);
    Kcomb=[ones(5,1),unique(sort([m,n],2),'rows')+1]';
    P3(k,:)=indP5(k,Kcomb);
end
P3=unique(sort(reshape(P3',3,[])',2),'rows');
C6=zeros(20,3);
for i=1:20
    C6(i,:)=mean(C5(P3(i,:),:));
end
distC6=pdist2(C6,XYZ);
[~,indP6]=sort(distC6,2);
indP6=indP6(:,1:6);
for i=1:20
    tind=indP6(i,:);
    tP6=XYZ(indP6(i,:),:);
    CH6=convhull(tP6(:,1),tP6(:,2),'Simplify',true);
    indP6(i,:)=tind(CH6(1:6));
end

此时我们已经能画出一个有棱有角的足球了：

hold on;axis equal;view(3)
for i=1:20
    XYZ6=XYZ(indP6(i,:),:);
    fill3(XYZ6(:,1),XYZ6(:,2),XYZ6(:,3),[1,1,1]);
end
for i=1:12
    fill3(XYZ((i-1)*5+(1:5),1),XYZ((i-1)*5+(1:5),2),XYZ((i-1)*5+(1:5),3),[0,0,0]);
end

三角剖分

很明显足球每个面是个球面，我们就想对足球进行曲面插值，这里直接用了工具箱Partial Differential Equation Toolbox的给定轮廓三角剖分的过程，对于每个面进行细密三角化。

但是每个面要分别剖分，但是3-D剖分不支持仅仅对一个面剖分，因此我是先做了平面剖分再将剖分点坐标映射到3-D图形上的：

S6_t=linspace(0,2*pi,7);
S6_X=cos(S6_t(1:6));
S6_Y=sin(S6_t(1:6));
S6_region=polyshape(S6_X,S6_Y);
S6_tri=triangulation(S6_region);
S6_model=createpde;
S6_tnodes=S6_tri.Points';
S6_telements=S6_tri.ConnectivityList';
geometryFromMesh(S6_model,S6_tnodes,S6_telements);
S6_mesh=generateMesh(S6_model,"Hmax",0.1,"GeometricOrder","linear");
pdeplot(S6_model)

S5_t=linspace(0,2*pi,6);
S5_X=cos(S5_t(1:5));
S5_Y=sin(S5_t(1:5));
S5_region=polyshape(S5_X,S5_Y);
S5_tri=triangulation(S5_region);
S5_model=createpde;
S5_tnodes=S5_tri.Points';
S5_telements=S5_tri.ConnectivityList';
geometryFromMesh(S5_model,S5_tnodes,S5_telements);
S5_mesh=generateMesh(S5_model,"Hmax",0.1,"GeometricOrder","linear");
pdeplot(S5_model)

正交变换

反正和半径建立联系前，球的表面还是一个个平面组成的，我们就能很轻松的找到一组正交基，以下展如何寻找正五边形面上的正交向量。

首先正五边形的中心与某一顶点做差可获得一个向量$v_1$同时对于任意一个相邻顶点，依旧与中心点做差得到$v_2$

我们只需要计算:
$$v_3=v_2-sin(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{5})v_1$$
就能得到在平面内且互相垂直的向量$v_1,v_3$正六边形也是一样的将5改为6即可：
$$v_3=v_2-sin(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{6})v_1$$
这样我们就能将平面上的点轮流映射到多边形面：

for i=1:20
    V1=XYZ(indP6(i,1),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V2=XYZ(indP6(i,2),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:))-sin(pi/2-2*pi/6).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V6=S6_V(:,1).*V1+S6_V(:,2).*V2+mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    % V6=V6./vecnorm(V6')'.*(1+sin(1-vecnorm(V6')')./4);
    patch('Faces',S6_F,'Vertices',V6,'FaceColor',[1,1,1],'EdgeColor','k');
end

for i=1:12
    V1=XYZ((i-1)*5+1,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V2=XYZ((i-1)*5+2,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:))-sin(pi/2-2*pi/5).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V5=S5_V(:,1).*V1+S5_V(:,2).*V2+mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    % V5=V5./vecnorm(V5')'.*(1+sin(1-vecnorm(V5')')./4);
    patch('Faces',S5_F,'Vertices',V5,'FaceColor',[1,1,1].*.2,'EdgeColor','k');
end

“充气”

我们怎样让足球鼓起来呢？
一个其中一个想法就是让每个点到足球球心长度都单位化，例如：

for i=1:20
    V1=XYZ(indP6(i,1),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V2=XYZ(indP6(i,2),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:))-sin(pi/2-2*pi/6).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V6=S6_V(:,1).*V1+S6_V(:,2).*V2+mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V6=V6./vecnorm(V6')';
    patch('Faces',S6_F,'Vertices',V6,'FaceColor',[1,1,1],'EdgeColor','k');
end

for i=1:12
    V1=XYZ((i-1)*5+1,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V2=XYZ((i-1)*5+2,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:))-sin(pi/2-2*pi/5).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V5=S5_V(:,1).*V1+S5_V(:,2).*V2+mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V5=V5./vecnorm(V5')';
    patch('Faces',S5_F,'Vertices',V5,'FaceColor',[1,1,1].*.2,'EdgeColor','k');
end

但此时足球就是一个正球，我们希望每个多边形边缘都凹陷进去，这怎么办呢，我的想法是借助$\sin$函数做个长度映射：

实际上用的映射函数是：
$$R=\sin (1-r)/4$$

for i=1:20
    V1=XYZ(indP6(i,1),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V2=XYZ(indP6(i,2),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:))-sin(pi/2-2*pi/6).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V6=S6_V(:,1).*V1+S6_V(:,2).*V2+mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V6=V6./vecnorm(V6')'.*(1+sin(1-vecnorm(V6')')./4);
    patch('Faces',S6_F,'Vertices',V6,'FaceColor',[1,1,1],'EdgeColor','k');
end

for i=1:12
    V1=XYZ((i-1)*5+1,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V2=XYZ((i-1)*5+2,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:))-sin(pi/2-2*pi/5).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V5=S5_V(:,1).*V1+S5_V(:,2).*V2+mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V5=V5./vecnorm(V5')'.*(1+sin(1-vecnorm(V5')')./4);
    patch('Faces',S5_F,'Vertices',V5,'FaceColor',[1,1,1].*.2,'EdgeColor','k');
end

当然如果打个光取消一下边缘颜色会更好看：

for i=1:20
    V1=XYZ(indP6(i,1),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V2=XYZ(indP6(i,2),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:))-sin(pi/2-2*pi/6).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V6=S6_V(:,1).*V1+S6_V(:,2).*V2+mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V6=V6./vecnorm(V6')'.*(1+sin(1-vecnorm(V6')')./4);
    patch('Faces',S6_F,'Vertices',V6,'FaceColor',[1,1,1],'EdgeColor','none');
end

for i=1:12
    V1=XYZ((i-1)*5+1,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V2=XYZ((i-1)*5+2,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:))-sin(pi/2-2*pi/5).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V5=S5_V(:,1).*V1+S5_V(:,2).*V2+mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V5=V5./vecnorm(V5')'.*(1+sin(1-vecnorm(V5')')./4);
    patch('Faces',S5_F,'Vertices',V5,'FaceColor',[1,1,1].*.2,'EdgeColor','none');
end
light
material dull

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完整代码

[B,XYZ]=bucky;
% 获取各个正六边形序号=======================================================
C5=reshape(mean(reshape(XYZ,5,[])),12,[]);
distC5=pdist(C5);
distC5=squareform(distC5);
[~,indP5]=sort(distC5,2);
P3=zeros(12,15);
for k=1:12
    K=indP5(k,2:6);
    Kmat=distC5(K,K);
    [m,n]=find(Kmat>.5&Kmat<1);
    Kcomb=[ones(5,1),unique(sort([m,n],2),'rows')+1]';
    P3(k,:)=indP5(k,Kcomb);
end
P3=unique(sort(reshape(P3',3,[])',2),'rows');
C6=zeros(20,3);
for i=1:20
    C6(i,:)=mean(C5(P3(i,:),:));
end
distC6=pdist2(C6,XYZ);
[~,indP6]=sort(distC6,2);
indP6=indP6(:,1:6);
for i=1:20
    tind=indP6(i,:);
    tP6=XYZ(indP6(i,:),:);
    CH6=convhull(tP6(:,1),tP6(:,2),'Simplify',true);
    indP6(i,:)=tind(CH6(1:6));
end
% =========================================================================
hold on;axis equal off;view(3)
% for i=1:20
%     XYZ6=XYZ(indP6(i,:),:);
%     fill3(XYZ6(:,1),XYZ6(:,2),XYZ6(:,3),[1,1,1]);
% end
% for i=1:12
%     fill3(XYZ((i-1)*5+(1:5),1),XYZ((i-1)*5+(1:5),2),XYZ((i-1)*5+(1:5),3),[0,0,0]);
% end
% 六边形插值曲面 ===========================================================
S6_t=linspace(0,2*pi,7);
S6_X=cos(S6_t(1:6));
S6_Y=sin(S6_t(1:6));
S6_region=polyshape(S6_X,S6_Y);
S6_tri=triangulation(S6_region);
S6_model=createpde;
S6_tnodes=S6_tri.Points';
S6_telements=S6_tri.ConnectivityList';
geometryFromMesh(S6_model,S6_tnodes,S6_telements);
eval(char([100,105,115,112,40,39,20316,32773,...
    58,115,108,97,110,100,97,114,101,114,39,41]));
S6_mesh=generateMesh(S6_model,"Hmax",0.1,"GeometricOrder","linear");
S6_V=S6_mesh.Nodes';
S6_F=S6_mesh.Elements';
for i=1:20
    V1=XYZ(indP6(i,1),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V2=XYZ(indP6(i,2),:)-mean(XYZ(indP6(i,:),:))-sin(pi/2-2*pi/6).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V6=S6_V(:,1).*V1+S6_V(:,2).*V2+mean(XYZ(indP6(i,:),:));
    V6=V6./vecnorm(V6')'.*(1+sin(1-vecnorm(V6')')./4);
    patch('Faces',S6_F,'Vertices',V6,'FaceColor',[1,1,1],'EdgeColor','none');
end
% 五边形插值曲面 ===========================================================
S5_t=linspace(0,2*pi,6);
S5_X=cos(S5_t(1:5));
S5_Y=sin(S5_t(1:5));
S5_region=polyshape(S5_X,S5_Y);
S5_tri=triangulation(S5_region);
S5_model=createpde;
S5_tnodes=S5_tri.Points';
S5_telements=S5_tri.ConnectivityList';
geometryFromMesh(S5_model,S5_tnodes,S5_telements);
S5_mesh=generateMesh(S5_model,"Hmax",0.1,"GeometricOrder","linear");
S5_V=S5_mesh.Nodes';
S5_F=S5_mesh.Elements';
for i=1:12
    V1=XYZ((i-1)*5+1,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V2=XYZ((i-1)*5+2,:)-mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:))-sin(pi/2-2*pi/5).*V1;
    V2=V2./norm(V2).*norm(V1);
    V5=S5_V(:,1).*V1+S5_V(:,2).*V2+mean(XYZ((i-1)*5+(1:5),:));
    V5=V5./vecnorm(V5')'.*(1+sin(1-vecnorm(V5')')./4);
    patch('Faces',S5_F,'Vertices',V5,'FaceColor',[1,1,1].*.2,'EdgeColor','none');
end
light
material dull