Music算法详解

具有一个入射信号的相位矩阵

Music算法详解_第1张图片

  假设在接收器处有一个带有M个天线的线性阵列。在天线阵列处以入射角 θ \theta θ接收入射信号,天线之间的间距d是信号的半波长。信号在不同的天线上具有不同的传播长度,由于传播路径比天线间隔d长得多,因此相邻天线之间的路径差可以表示为 d s i n ( θ ) dsin(\theta) dsin(θ) 。因此相邻天线之间引入了 − 2 π f d s i n ( θ ) / c -2 \pi fdsin(\theta)/c 2πfdsin(θ)/c的相位差,其中f是信号频率,c是光速。我们可以将引入的相位差表示为AoA的函数:
Φ ( θ ) = e − j 2 π f d sin ⁡ ( θ ) / c \Phi(\theta)=e^{-j 2 \pi f d \sin (\theta) / c} Φ(θ)=ej2πfdsin(θ)/c  天线阵列的相位差表示为(只存在这一条路径在M个天线上的相位差):
α ( θ ) = [ 1 , Φ ( θ ) , … , Φ ( θ ) M − 1 ] M × 1 ⊤ \alpha(\theta)=\left[1, \Phi(\theta), \ldots, \Phi(\theta)^{M-1}\right]^{\top}_{M×1} α(θ)=[1,Φ(θ),,Φ(θ)M1]M×1
  其中 α ( θ ) \alpha(\theta) α(θ)称为转向矩阵,如果在第一天线处接收的信号为 s ( t ) s(t) s(t),则对于第一个子载波,天线阵列处的接收信号矢量可表示为:
X ( t ) = α ( θ ) M × 1 s ( t ) 1 × 1 + N ( t ) = [ 1 , Φ ( θ ) , … , Φ ( θ ) M − 1 ] M × 1 ⊤ ⋅ s ( t ) = [ s ( t ) , s ( t ) Φ ( θ ) , ⋯   , s ( t ) Φ ( θ ) M − 1 ] M × 1 T X(t)=\alpha(\theta)_{M×1}s(t)_{1×1}+N(t)=\left[1, \Phi(\theta), \ldots, \Phi(\theta)^{M-1}\right]^{\top}_{M×1} ·s(t)=[s(t),s(t)\Phi(\theta) ,\cdots,s(t)\Phi(\theta)^{M-1}]^T_{M×1} X(t)=α(θ)M×1s(t)1×1+N(t)=[1,Φ(θ),,Φ(θ)M1]M×1s(t)=[s(t),s(t)Φ(θ),,s(t)Φ(θ)M1]M×1T

  对于所有的k个子载波:
X ( t ) = [ X 1 ( t ) , X 2 ( t ) , ⋯ X k ( t ) ] M × k X(t)=\left[X_{1}(t), X_{2}(t), \cdots X_{k}(t)\right]_{M \times k} X(t)=[X1(t),X2(t),Xk(t)]M×k

具有多个入射信号的相位矩阵

  假设对于第一个子载波,M根天线,n个入射信号时(n条路径):
X 1 ( t ) = ∑ i = 1 n α ( θ i ) s i ( t ) + N ( t ) = A M × n S n × 1 + N = [ 1 1 ⋯ 1 Φ ( θ 1 ) Φ ( θ 2 ) ⋯ Φ ( θ n ) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ Φ ( θ 1 ) M − 1 Φ ( θ 2 ) M − 1 ⋯ Φ ( θ n ) M − 1 ] M × n ⋅ [ s 1 ( t ) s 2 ( t ) ⋮ s n ( t ) ] n × 1 = [ s 1 ( t ) + s 2 ( t ) ⋯ + s n ( t ) s 1 ( t ) Φ ( θ 1 ) + s 2 ( t ) Φ ( θ 2 ) ⋯ + s n ( t ) Φ ( θ n ) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ s 1 ( t ) Φ ( θ 1 ) M − 1 + s 2 ( t ) Φ ( θ 2 ) M − 1 ⋯ + s n ( t ) Φ ( θ n ) M − 1 ] M × 1 X_1(t)=\sum_{i=1}^{n} \alpha\left(\theta_{i}\right) s_{i}(t)+N(t)=A_{M×n}S_{n×1}+N=\\ \left[\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \Phi\left(\theta_{1}\right) & \Phi\left(\theta_{2}\right) & \cdots & \Phi\left(\theta_{n}\right) \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ \Phi\left(\theta_{1}\right)^{M-1} & \Phi\left(\theta_{2}\right)^{M-1} & \cdots & \Phi\left(\theta_{n}\right)^{M-1} \end{array}\right]_{M×n}·\left[\begin{array}{cccc} s_{1}(t) \\ s_{2}(t) \\ \vdots \\ s_{n}(t) \end{array}\right]_{n×1}=\\ \left[\begin{array}{cccc} s_{1}(t) & +s_{2}(t) & \cdots & +s_{n}(t) \\ s_{1}(t) \Phi\left(\theta_{1}\right) & +s_{2}(t) \Phi\left(\theta_{2}\right) & \cdots & +s_{n}(t) \Phi\left(\theta_{n}\right) \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ s_{1}(t) \Phi\left(\theta_{1}\right)^{M-1} & +s_{2}(t) \Phi\left(\theta_{2}\right)^{M-1} & \cdots & +s_{n}(t) \Phi\left(\theta_{n}\right)^{M-1} \end{array}\right]_{M \times 1} X1(t)=i=1nα(θi)si(t)+N(t)=AM×nSn×1+N=1Φ(θ1)Φ(θ1)M11Φ(θ2)Φ(θ2)M11Φ(θn)Φ(θn)M1M×ns1(t)s2(t)sn(t)n×1=s1(t)s1(t)Φ(θ1)s1(t)Φ(θ1)M1+s2(t)+s2(t)Φ(θ2)+s2(t)Φ(θ2)M1+sn(t)+sn(t)Φ(θn)+sn(t)Φ(θn)M1M×1
  同一路径即同一入射信号,同一入射信号入射到M根天线上,同一入射信号入射到M根天线上的角度 θ \theta θ相同。 X 1 ( t ) X_1(t) X1(t)的第一行代表所有n条入射信号在第一根天线上的总和,第二行代表所有的n条入射信号在第二根天线上的总和,依次类推。

  对于所有的k个子载波:
X ( t ) = [ X 1 ( t ) , X 2 ( t ) , ⋯ X k ( t ) ] M × k X(t)=\left[X_{1}(t), X_{2}(t), \cdots X_{k}(t)\right]_{M \times k} X(t)=[X1(t),X2(t),Xk(t)]M×k
  接收到 X ( t ) X(t) X(t)大小为M×K(我们常用的就是3×30), X ( t ) X(t) X(t)说白了接受到的数据包,如下图所示:Music算法详解_第2张图片

Music算法对AoA的估计

  标准MUSIC算法的基本思想是分析M个天线的接收信号X的M×M相关矩阵 的本征结构。我们可以将 R X R_X RX表示为:
R M × M = E [ X X H ] = A E [ S S H ] A H + E [ N N H ] = A R S A H + σ 2 I R_{M×M}=E\left[X X^{H}\right]=A E\left[S S^{H}\right] A^{H}+E\left[N N^{H}\right]=A R_{S} A^{H}+\sigma^{2} I RM×M=E[XXH]=AE[SSH]AH+E[NNH]=ARSAH+σ2I
  其中 R S R_S RS s ( t ) s(t) s(t) 的协方差矩阵, 当信号完全不相关时, R S R_S RS 是对角线矩阵, 并且 是非奇异的; 当信号部分相关时, R S R_S RS是非对角线矩阵, 并且是非奇异的; 当信号完全相 关时, 即信号相干, R S R_S RS 是非对角线矩阵, 并且是奇异的。

  由于方向矩阵 A A A 是范徳蒙德矩阵, 假设阵列天线间距小于 λ 0 / 2 ( λ 0 \lambda_{0} / 2\left(\lambda_{0}\right. λ0/2(λ0 为信号波长), 则方向矩阵 A A A 中的每一列均不相同, 即方向矩阵 A A A 中的每一列均线性独立。此时, 若 R S R_S RS 是非奇异的, 则 A S A H A S A^{H} ASAH 的秩为 L L L 。对接收信号 r ( t ) r(t) r(t) 的协方差矩阵 R R R 做特征分解后得到 R R R 的 特征值和特征向量:
{ λ 1 , λ 2 , … , λ M } , λ 1 ≥ λ 2 ≥ ⋯ ≥ λ M ≥ 0 { v 1 , v 2 , … , v M } \begin{gathered} \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{M}\right\}, \quad \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{M} \geq 0 \\ \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{M}\right\} \end{gathered} {λ1,λ2,,λM},λ1λ2λM0{v1,v2,,vM}

  由于协方差矩阵 R S R_S RS是厄尔米特矩阵(Hermitian Matrix), 所以 R S R_S RS矩阵的特征值均为 实数, 并且由于 S S S n n n 路信号的协方差矩阵, 它的特征值均大于 0 , 矩阵 S S S 是正定的, 所 以可推出 R R R 是半正定的, 即 R R R 矩阵的特征值 { λ 1 , λ 2 , … , λ M } \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{M}\right\} {λ1,λ2,,λM} 均大于等于零。根据 A S A H A S A^{H} ASAH 的秩 为 n n n 可知, 信号空间对应的特征值和特征向量的个数为 n n n, 分别为 { λ 1 , λ 2 , … , λ n } \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right\} {λ1,λ2,,λn} { v 1 , v 2 , … , v n } \left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} {v1,v2,,vn}, 而噪声空间对应的特征值和特征向量的个数则为 M − n M-n Mn, 分别为 { λ n + 1 , λ n + 2 , … , λ M } \left\{\lambda_{n+1}, \lambda_{n+2}, \ldots, \lambda_{M}\right\} {λn+1,λn+2,,λM} { v n + 1 , v n + 2 , … , v M } \left\{v_{n+1}, v_{n+2}, \ldots, v_{M}\right\} {vn+1,vn+2,,vM} 。由于噪声能量相对于信号能量要小很多, 因此, { λ n + 1 , λ n + 2 , … , λ M } \left\{\lambda_{n+1}, \lambda_{n+2}, \ldots, \lambda_{M}\right\} {λn+1,λn+2,,λM} 是协方差矩阵 R S R_S RS 所有特征值中一组最小的特征值, 且趋近于零:
λ n + 1 = λ n + 2 = ⋯ = λ M = σ 2 ≈ 0 \lambda_{n+1}=\lambda_{n+2}=\cdots=\lambda_{M}=\sigma^{2} \approx 0 λn+1=λn+2==λM=σ20

  理论上, 信号空间与噪声空间是正交的, 因此信号空间方向矩阵 A A A 的列向量与噪声 空间的特征向量 { v n + 1 , v n + 2 , … , v M } \left\{v_{n+1}, v_{n+2}, \ldots, v_{M}\right\} {vn+1,vn+2,,vM} 也是正交的,而 A A A 的列向量与信号的到达方向一一对 应, 根据此性质, 便可以利用噪声空间的特征向量来求解信号的到达方向。首先构建 噪声矩阵 E n = [ v n + 1 , v n + 2 , … , v M ] E_{n}=\left[v_{n+1}, v_{n+2}, \ldots, v_{M}\right] En=[vn+1,vn+2,,vM], 然后定义空间谱函数 P music  ( θ ) P_{\text {music }}(\theta) Pmusic (θ) :
P music  ( θ ) = 1 a H ( θ ) E n E n H a ( θ ) P_{\text {music }}(\theta)=\frac{1}{a^{H}(\theta) E_{n} E_{n}{ }^{H} a(\theta)} Pmusic (θ)=aH(θ)EnEnHa(θ)1
  其中 a H ( θ ) a^{H}(\theta) aH(θ) E n H E_{n}{ }^{H} EnH 分别为 a ( θ ) a(\theta) a(θ) E n E_{n} En共轭转置矩阵。由空间谱函数的定义可以看出, 当 a ( θ ) a(\theta) a(θ) E n E_{n} En 正交时[ a ( θ ) a(\theta) a(θ)中的 θ \theta θ遍历-90度到90度], P music  ( θ ) P_{\text {music }}(\theta) Pmusic (θ) 会出现一个谱峰, 谱峰对应的 θ \theta θ 值便是信号到达方向的估 计值, 所以, 可以通过搜索空间谱函数的谱峰来估计信号各条传播路径的 AoA。

  MUSIC算法能有效运行的前提是矩阵 R S R_S RS是非奇异的,即各条传播路径不相干。如果L路到达信号中存在Q路相干信号(Q≤L),则通过MUSIC算法能被检测到的信号数量为L-Q+1,能被解出的信号数量为L-Q。

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