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深度学习之矩阵计算

目录

矩阵计算（求导数）

        标量导数

         亚导数：遇到导数不可微的函数可采用分段函数表示导数

         梯度

                物理意义：

                深度学习的应用：

                梯度计算

        向量链式法则

自动求导

        计算图

         显式构造

        隐式构造 

         自动求导的两种模式

        复杂度

求导是几乎所有深度学习优化算法的关键步骤

矩阵计算（求导数）

        标量导数

y

a

(不是x的函数)

 x^{n} e^{x}(exp(x))) log_{e}x(log(x)) sin(x)
\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} x} 0 nx^{n-1} e^{x}(exp(x))) \frac{1}{x} cos(x)

y u+v uv y=f(u),u=g(x)
\frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} x} + \frac{\mathrm{d} v }{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} x} v+ u\frac{\mathrm{d} v }{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} y }{\mathrm{d} u}\frac{\mathrm{d} u }{\mathrm{d} x}

         亚导数：遇到导数不可微的函数可采用分段函数表示导数

一元函数中可微即可导，多元函数中可微一定可导（可微：每一个方向都是光滑的），可导不一定可微

                        eg.|x|

\frac{\partial |x|}{\partial x} = \left\{\begin{matrix} 1 &if\; x> 0\\ -1& if\; x< 0\\ a& if\; x= 0,a\; \epsilon \; [-1,1] \end{matrix}\right.

         梯度

偏导数组成的向量，方向代表增长速率最快的方向，模长表示增长速率

                        标量x         向量x

        标量y       标量           向量

        向量y       向量           矩阵 

                物理意义

                深度学习的应用 

                梯度计算

​​​​​​​深度学习之矩阵计算_第1张图片

深度学习之矩阵计算_第2张图片

 

 

        向量链式法则

标量链式法则：复合函数求导

向量链式法则：

\frac{\partial y}{\partial \textbf{x}} = \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial \textbf{x}}                        \frac{\partial y}{\partial \textbf{x}} = \frac{\partial y}{\partial \mathbf{u}} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \textbf{x}}                        \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \textbf{x}} = \frac{\partial \mathbf{y}}{\partial \mathbf{u}} \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \textbf{x}}

(1,n)    (1,)(1,n)                  (1,n)       (1,k)(k,n)                   (m,n)     (m,k)(k,n)

自动求导

实际中，根据我们设计的模型，系统会构建一个计算图（computational graph）， 来跟踪计算是哪些数据通过哪些操作组合起来产生输出。 自动微分使系统能够随后反向传播梯度。 这里，反向传播（backpropagate）意味着跟踪整个计算图，填充关于每个参数的偏导数。

        计算图

深度学习之矩阵计算_第3张图片

深度学习之矩阵计算_第4张图片

         显式构造

深度学习之矩阵计算_第5张图片

        隐式构造 

 深度学习之矩阵计算_第6张图片

         自动求导的两种模式

正向累积

反向累积（反向传递）

深度学习之矩阵计算_第7张图片

        复杂度

反向累积

深度学习之矩阵计算_第8张图片

 与正向累积对比（不常用）

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