积分专题笔记-曲线面积分三大公式

积分专题笔记-曲线面积分三大公式

一、格林公式

01 格林公式

设 $P$，$Q$ 在封闭曲线 $\Gamma$ 包围的有界闭区域 $D$ 上连续且具有连续的一阶偏导数，

$D$ 的边界 $C$ 是分段光滑曲线，则有公式：( 二重积分与在其边界上的第二型曲线积分的关系 )

${\oint }_{\Gamma }Pdx+Qdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{[]}{\partial x}-\frac{[]}{\partial y}\right)dxdy=\underset{D}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$ ，其中沿 $\Gamma$ 正向。

记忆：兔子不吃窝边草。

02 向量形式

$$\begin{array}{rl}& F=(u(x,y),v(x,y))n^0为C^{+}的单位外法向量\\ & 利用切向量\Rightarrow n^0=\left(\frac{dy}{ds},-\frac{dx}{ds}\right)\\ & {\oint }_{C^{+}}F\cdot n^{0}ds={\iint }_D\nabla \cdot Fd\sigma (格林公式的向量形式)\end{array}$$

03 证明的思路

① 先考虑区域 $D$ 是 $x$ 型正规区域的情况

$D=\left\{(x,y)\mid y_1(x)\le y\le y_2(x),a\le x\le b\right\}$

证 $\underset{C}{\oint }Pdx=-\underset{D}{\iint }\frac{\partial P}{\partial y}dxdy$

② 再考虑 $D$ 为一般区域将 $D$ 分割成几个正规区域

二、高斯公式

设有界闭区域立体 $\Omega \subset R^3$ 的边界曲面是分片光滑曲线 $\Sigma$ 指向外侧，若 $P,Q,R$ 在 $\Omega$ ( 包括 $\Sigma$ ) 上连续且具有连续的一阶偏导数，则
$$\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\underset{\Omega }{\iiint }(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV$$
$A(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\}$，$dS=\{dydz,dzdx,dxdy\}$ 。

高斯公式可以写成：$\underset{{\Sigma }_{外}}{\iint }A\cdot dS=\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{div}AdV$ 。

三、斯托克斯公式

若 $P,Q,R$ 在分片光滑曲面 $\Sigma$ ( 包括边界分段光滑曲线 $L$ ) 连续且具有连续的偏导数，

则 ${\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\Sigma }(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

​ （ $=\left|\begin{array}{llc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|$ ，按第一行展开。）

曲面 $\Sigma$ 的方向与边界曲线 $L$ 的方向符合右手法则。

注：以 $L$ 为边界的曲面 $\Sigma$ 有无数个，选择简单的曲面，最好选择平面 $\Sigma$ 。

引入旋度的概念后，斯托克斯公式也可写为：${\oint }_{L}A\cdot ds=\mathrm{rot}A\cdot S$ .