设 P P P, Q Q Q 在封闭曲线 Γ \Gamma Γ 包围的有界闭区域 D D D 上连续且具有连续的一阶偏导数,
D D D 的边界 C C C 是分段光滑曲线,则有公式:( 二重积分与在其边界上的第二型曲线积分的关系 )
∮ Γ P d x + Q d y = ∬ D ( [ ] ∂ x − [ ] ∂ y ) d x d y = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \displaystyle{\oint_{\Gamma}Pdx+Qdy=\iint\limits_D\left(\frac{[\ \ \ ]}{\partial x}-\frac{[\ \ \ ]}{\partial y}\right) d x d y=\iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y} ∮ΓPdx+Qdy=D∬(∂x[ ]−∂y[ ])dxdy=D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy ,其中沿 Γ \Gamma Γ 正向。
记忆:兔子不吃窝边草。
F = ( u ( x , y ) , v ( x , y ) ) n 0 ⃗ 为 C + 的单位外法向量 利用切向量 ⇒ n 0 = ( d y d s , − d x d s ) ∮ C + F ⋅ n 0 ⃗ d s = ∬ D ∇ ⋅ F d σ ( 格林公式的向量形式 ) \begin{aligned} & F=(u(x, y), v(x, y)) \quad \vec{n^0}\ 为\ C^+\ 的单位外法向量\\ & 利用切向量 \Rightarrow n^{0}=\left(\frac{d y}{d s},-\frac{d x}{d s}\right)\\ & \oint_{C^{+}} F \cdot \vec{n^0} d s=\iint_{D} \nabla \cdot F d \sigma \quad(\ 格林公式的向量形式 \ ) \end{aligned} F=(u(x,y),v(x,y))n0 为 C+ 的单位外法向量利用切向量⇒n0=(dsdy,−dsdx)∮C+F⋅n0ds=∬D∇⋅Fdσ( 格林公式的向量形式 )
① 先考虑区域 D D D 是 x x x 型正规区域的情况
D = { ( x , y ) ∣ y 1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ) , a ≤ x ≤ b } D=\left\{(x, y) \mid y_{1}(x) \leq y \leq y_{2}(x), a \leq x \leq b\right\} D={(x,y)∣y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}
证 ∮ C P d x = − ∬ D ∂ P ∂ y d x d y \oint \limits_{C} P d x=-\iint \limits_{D} \frac{\partial P}{\partial y} d x d y C∮Pdx=−D∬∂y∂Pdxdy
② 再考虑 D D D 为一般区域将 D D D 分割成几个正规区域
设有界闭区域立体 Ω ⊂ R 3 \Omega\subset R^3 Ω⊂R3 的边界曲面是分片光滑曲线 Σ \Sigma Σ 指向外侧,若 P , Q , R P\ , \ Q\ , \ R P , Q , R 在 Ω \Omega Ω ( 包括 Σ \Sigma Σ ) 上连续且具有连续的一阶偏导数,则
∯ Σ 外 P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂ Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) d V \oiint\limits_{\Sigma_{外}}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_{\Omega}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dV Σ外∬Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=Ω∭(∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R)dV
A ⃗ ( x , y , z ) = { P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) } \vec{A}(x,y,z)=\{P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)\} A(x,y,z)={P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}, d S ⃗ = { d y d z , d z d x , d x d y } d\vec{S}=\{dydz,dzdx,dxdy\} dS={dydz,dzdx,dxdy} 。
高斯公式可以写成: ∯ Σ 外 A ⃗ ⋅ d S ⃗ = ∭ Ω d i v A ⃗ d V \displaystyle{ \oiint\limits_{\Sigma_{外}}\vec{A}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_{\Omega}\mathrm{div}\vec{A}dV }% Σ外∬A⋅dS=Ω∭divAdV 。
若 P , Q , R P\ , \ Q\ , \ R P , Q , R 在分片光滑曲面 Σ \Sigma Σ ( 包括边界分段光滑曲线 L L L ) 连续且具有连续的偏导数,
则 ∮ L P d x + Q d y + R d z = ∬ Σ ( ∂ R ∂ y − ∂ Q ∂ z ) d y d z + ( ∂ P ∂ z − ∂ R ∂ x ) d z d x + ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d x d y \displaystyle{\oint_{L}Pdx+Qdy+Rdz=\iint_{\Sigma}(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy}% ∮LPdx+Qdy+Rdz=∬Σ(∂y∂R−∂z∂Q)dydz+(∂z∂P−∂x∂R)dzdx+(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy
( = ∣ d y d z d z d x d x d y ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z P Q R ∣ =\displaystyle{ \left|\begin{array}{ll} dydz & dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array}\right| } =∣ ∣dydz∂x∂Pdzdx∂y∂Qdxdy∂z∂R∣ ∣ ,按第一行展开。)
曲面 Σ \Sigma Σ 的方向与边界曲线 L L L 的方向符合右手法则。
注:以 L L L 为边界的曲面 Σ \Sigma Σ 有无数个,选择简单的曲面,最好选择平面 Σ \Sigma Σ 。
引入旋度的概念后,斯托克斯公式也可写为: ∮ L A ⃗ ⋅ d s ⃗ = r o t A ⃗ ⋅ S ⃗ \displaystyle{ \oint_{L}\vec{A}\cdot d\vec{s}=\mathrm{rot}\vec{A}\cdot\vec{S} }% ∮LA⋅ds=rotA⋅S .