每日一题/002/微积分/变上限积分函数求导问题

题目（2018年秋季学期中国农业大学高数A期末考试）：
求
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x\sin (x-t{)}^2\mathrm{d}x$$

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参考答案：
令

$$x-t=u$$

则

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x\sin (x-t{)}^2\mathrm{d}t=& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_x^0\sin u^2\mathrm{d}(x-u)\\ =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_x^0\sin u^2\cdot (-1)\mathrm{d}u\\ =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x\sin u^2\mathrm{d}u\\ =& \sin x^2\end{array}$$

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2020年12月31日14:08:44

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解法二：
$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_0^x\sin (x-t{)}^2\mathrm{d}t& =\sin (x-x{)}^2+{\int }_0^x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin (x-t{)}^2\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^{x}2(x-t)\cos (x-t{)}^2\\ & =-\sin (x-t{)}^2{|}_0^x\\ & =\sin x^2\end{array}$$

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2020年12月31日14:34:51