【图形学基础：光照模型】向量和矩阵相关内容的复习

整理得较为口语化，应该是比较好懂的啦~欢迎讨论问题，这篇配合“固定渲染管线”（我后续也会整理出来）的内容食用更佳哦！

目录

向量

基础知识：

坐标系：

特殊向量：

向量相等：

向量的计算：

向量求模与单位化：

向量加法：

向量减法：

向量数乘：

向量点乘：

向量投影（只做了解）：

向量叉乘：

光照模型

环境光（Ambient）：

漫反射（Diffuse）：

镜面反射（Specular）：

矩阵

基础理论：

矩阵计算：

矩阵加法：

矩阵减法：

矩阵数乘：

矩阵乘法：

矩阵转置：

逆矩阵：

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向量

【当我们需要用向量表示方向的时候，将其进行归一化（单位化）】

基础知识：

坐标系：

左手坐标系：左手半握手心朝上放在胸前：手臂指向为x轴，四指为y轴，拇指为z轴

右手坐标系：右手半握手心朝上在身侧平举，手臂指向为x，四指为y，拇指为z轴

向量有大小和方向，标量只有大小，没有方向。

*笛卡尔坐标系中，每一个向量都认为是以原点开始

特殊向量：

(1,0,0),(-1,0,0),(0,1,0),(0,-1,0),(0,0,1),(0,0,-1),(0,0,0)[零向量]

单位向量：模为1的向量

 因点乘（dot）中cos只取正数，两个向量单位化后可以用来区分方向，零向量用来清零 

向量相等：

数学意义上来说，是各分量相等，但是在游戏开发应用时一般是给定范围（如小数点后5位），小于某值则为相等

向量的计算：

向量求模与单位化：

向量求模：

向量单位化：

零向量不能单位化，但可以进行求模

向量加法：

维数相同的两个向量才能进行向量加法，向量加法满足平行四边形或三角形法则。

                      

向量的加法满足如下性质：

1）交换律：a+b=b+a；                  2）结合律：（a+b）+c＝a+（b+c）；

3）a+0=0+a=a；                             4）a+（-a）=（-a）+a=0。

向量减法：

向量减法可以看作是向量加法的逆运算。向量减法可按照三角形法则判断。

减法不满足交换律和结合律，交换后所得的结果模相等，方向相反

向量数乘：

标量与向量相乘称为向量的数乘。

向量数乘有以下性质：交换律和结合律

1）1• = ； 

2）k•（l•）=(k•l) •；

3）(k+l) • = k+l；

4）k（＋）= k＋k；

向量点乘：

dot（·乘） ：一般用于求夹角关系

 [一般将向量单位化再进行，点乘用于求夹角，范围是0~180°]

通过点乘结果可判断两个向量的关系：cosθ

如果 = 0，那么向量相互垂直；

如果 > 0，那么向量 u 、v 之间的夹角小于90°；

如果 < 0，那么向量 u 、v 之间的夹角大于90°。

向量投影（只做了解）：

给定两个向量v与n，可以把向量v分解为两个向量vx，vy，它们分别平行和垂直于向量n，把平行于向量n的向量vx称为向量v在向量n上的投影。

 

向量叉乘：

叉乘的结果是一个向量。u和v进行叉乘后得到另一个向量p，向量p同时垂直于 u 、v。[用于求法线]，将x，y，z看作循环，xyzx……

向量的叉乘有如下性质：

1）反对称性：u×v＝－v×u；

2）齐次性：（ku）×v＝k（u×v）；

3）可加性：u×（v+r）＝u×v＋u×r。

被乘数到乘数，是顺时针则物体是正面，逆时针则是背面，（背面裁剪的时候就可以将它裁剪掉，不用渲染）

光照模型

图形学中光的类型：点光源（没有方向），平行光（只有方向，没有位置），泛光灯（聚光灯）

（我的位置-点光源的位置=光线方向，平行光不需要求光线方向）

光照模型分类：光源（自发光），环境光，漫反射，镜面反射：反映物体表面光滑程度

（总光照      =      环境光      +      漫反射      +      镜面反射      +      自发光）

下面会介绍如何计算主要分量：

环境光（Ambient）：

没有空间上的位置和方向的特征，只有一个颜色亮度值。

添加材质后：（反射能力和材质）

漫反射（Diffuse）：

需要：光方向的逆方向和法线

光源的向量取反，将光线向量和法线单位化，然后进行点乘dot，再乘以物体的漫反射材质

添加材质后：

L应为光照射的反方向

镜面反射（Specular）：

发生在光滑物体表面的高光反射中

需要：光线向量反方向、反射光向量，观察者方向（物体-我的位置）

[越和反射光向量重合，即α越小，看到的镜面反射光越强]

把观察者和光线向量的反方向单位化后相加得到夹角平分线，（即由向量求出的相应法线），单位化，再与单位化后的法线进行dot点乘，得到的角度越大，能看到的反射光越小。   最后进行pow加入极亮和泛光反应，pow的值越大表示极亮反应越强，越小表示泛光反应越强

添加材质后：

极亮反应，镜面反射集中在某一视角内，其他地方看不到

泛光反应：大部分范围都能看到

矩阵

（默认以（1，1）开头）m行n列的矩形表A称为一个m×n矩阵，记作

基础理论：

方阵：当m和n相等时，A称为一个n阶方阵。

单位矩阵：只有方阵（行列相等）才有单位矩阵，主对角线为1，其余都为0，乘任何矩阵都得到原矩阵，等价于数字1

零矩阵：可乘情况下，乘任何都为0，等价于数字0

单位矩阵和零矩阵没有逆矩阵

矩阵相等：如果两个矩阵具有相同的维数（同种矩阵）并且它们的元素都相等，则这两个矩阵相等。

矩阵计算：

矩阵加法：

只可以在两个同种矩阵之间进行。矩阵的和就是两个矩阵的对应元素相加的和组成的矩阵。

有如下性质：

1）交换律：A+B=B+A；

2）结合律：A+（B+C）=（A+B）+C；

3）存在与A同型的零矩阵0，使得0+A=A+0=A；

4）A+（-A）=0，-A称为A的负矩阵（每个成员取反）。

矩阵减法：

只能在两个相同维数的矩阵之间进行。即各分量相减

矩阵数乘：

矩阵与一个标量（或数量）相乘称为矩阵的数乘，即把数字乘到各分量里去

假设A，B是两个同型矩阵，k，l是两个标量，则有如下性质：

1）1•A=A，0•A=0；

2）（k+l）A = kA + lA；

3）k（lA）= l（kA）=（kl）A；

4）k（A+B）= kA+kB；

矩阵乘法：

矩阵A的列数需要和矩阵B的行数相等

A为m×n且B为n×p的矩阵，矩阵乘法结果为m×p的矩阵C，记作C=A×B。

在矩阵C中第ij个元素：A中第i个行向量和B中的第个j个列向量的点乘结果。

例：

  

假定有矩阵A、B、C满足矩阵乘法，则矩阵乘法有如下性质：

1）结合律：（AB）C=A（BC）；

2）分配律：A（B+C）=AB+AC，（B+C）A=BA+CA；

3）存在单位阵与，使得：；

4）对于标量k，有k（AB）=A（kB）=（kA）B。

矩阵转置：

矩阵的转置指交换矩阵的行和列。

                                        

                          

逆矩阵：

矩阵运算中没有除法运算，只有逆矩阵的运算。与原矩阵互为倒数，相乘得到单位矩阵（数字1），【单位矩阵和零矩阵没有逆矩阵】

1）只有方形的矩阵可以有逆矩阵。

2）一个n×n的矩阵M的逆矩阵表示为 。

3）将一个矩阵和它的逆矩阵相乘的结果是一个单位矩阵 。

4）并不是所有的方阵都有逆矩阵。

5）反序律：

6）还原性：

PS：向量中有一部分性质公式没有逐个修改成向量形式了（现在我只会笨方法，要一个一个修改比较慢），但都是看得懂的，欢迎指正！！！