Games101计算机图形学学习笔记:线性代数-向量

一、标量与向量

1、标量

只有大小，没有方向的数值即称为标量。比如：长度，面积，温度等。

2、向量

又称为矢量，既有大小又有方向的量。一个向量表示一个点指向另一个点的方向和长度。向量通常可以用一个字母并在字母上加→来表示,如：$a$向量。

1.向量的方向

上图描述一个有 点A 指向 点B 的向量 $\mathbf{a}$ 。 在同一个坐标系内，任何 $\mathbf{a}$ 方向和长度相等的向量都和向量 $\mathbf{a}$ 相等。比如由 点A’ 指向 点B’ 的向量 ${\mathbf{A}}^{\prime }$ 。用向量的终点减起点即可得到这个向量的值: $\mathbf{a}$ = B - A 。

2.向量的长度

向量的长度也叫向量的模，可以用两组两条|包裹的向量名来表示，如：$||\mathbf{a}||$ 。
还有一种比较特殊的向量叫单位向量，单位向量的意思是模长为1的向量。单位向量用向量名上面加一个尖尖的角来表示，如：$\hat{\mathbf{a}}$。 用向量除以他自己的模长即可得到他的单位向量，也叫归一化向量：$\hat{\mathbf{a}}=\mathbf{a}/||\mathbf{a}||$ 。

在图形学中，我们关注一个方向通常都用单位向量，并不用关心它的长度

求模公式
$||A||=\sqrt{x^2+y^2}$
这里我们还可以理解为一个向量为列矩阵乘以他的转置矩阵。
$A=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$
$A^T=\left(\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right)$

3.向量的计算

1.向量加法

向量加法可以用两种方式来解释，分别是平行四边形法则和三角形法则。
左边的图是平行四边形法则：
两个向量合成时，以表示这两个向量的线段为邻边作平行四边形，这个平行四边形的对角线就表示合向量的大小和方向，这就叫做平行四边形定则。
这里可以这样理解：因为向量在同一平面内可以随意移动而不会改变其值，我们可以把向量 $\mathbf{a}$和向量 $\mathbf{b}$的起点放在一起，然后再平移另一组向量 $\mathbf{a}$和向量 $\mathbf{b}$使得他们围城一个平行四边形。那么这个平行四边形的对角线就是向量 $\mathbf{a}$和向量 $\mathbf{b}$相加之和。

右边的图是三角形法则：
把向量 $\mathbf{a}$和向量 $\mathbf{b}$首尾相接，从向量 $\mathbf{a}$的起点指向向量 $\mathbf{b}$的终点的向量就是$\mathbf{a}$+$\mathbf{b}$的结果
这个不仅适用于两个向量，也可以用于多个向量。

2.向量的减法

将两个向量平移至公共起点，减向量的终点指向被减向量的终点的向量即为结果。

3.向量的乘法

1.点乘

1.在图形学中我们经常使用点乘来计算两个向量的夹角，比如制作光照模型时计算光照和法线的夹角。

几何解释
$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=||\mathbf{a}||||\mathbf{b}||\mathbf{cos\theta }$
两个向量点乘的结果是一个标量。
$\mathbf{cos\theta }=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{||\mathbf{a}||||\mathbf{b}||}$
当两个向量都为单位向量时，公式可简化为
$\mathbf{cos\theta }=\hat{\mathbf{a}}\cdot \hat{\mathbf{b}}$
代数解释
$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\end{array}\right)={\mathbf{x}}_{\mathbf{a}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{b}}+{\mathbf{y}}_{\mathbf{a}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{b}}$
$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{x}_a\\ y_a\\ z_a\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)={\mathbf{x}}_{\mathbf{a}}{\mathbf{x}}_{\mathbf{b}}+{\mathbf{y}}_{\mathbf{a}}{\mathbf{y}}_{\mathbf{b}}+{\mathbf{z}}_{\mathbf{a}}{\mathbf{z}}_{\mathbf{b}}$
向量的点乘满足交换律、结合律、分配率
$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$
$\mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$
$(\mathbf{k}\mathbf{a})\cdot \mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot (\mathbf{k}\mathbf{b})=\mathbf{k}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$
如果两个向量的点乘为0则这两个向量互相垂直$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$

2.另外点乘还有一个作用，就是计算一个向量在另一个向量上的投影。

投影公式的推导过程如下
$\mathbf{b}$在$\mathbf{a}$上的投影是${\mathbf{b}}_{\perp }$，且两个向量的夹角是θ。因为${\mathbf{b}}_{\perp }$是$\mathbf{a}$上的投影，所以${\mathbf{b}}_{\perp }$的方向和$\mathbf{a}$相同。可得：
投影值为长度d乘以单位向量$\hat{a}$ (1)
$\hat{a}=\frac{a}{||a||}$
$b_{\perp }=d\frac{a}{||a||}$
由三角函数可求出d的值 (2)
$d=||b||cos\theta$
根据点乘公式可得 (3)
$cos\theta =\frac{a\cdot b}{||a||||b||}$
投影长度：把3代入2
$d=||b||\frac{a\cdot b}{||a||||b||}=\frac{a\cdot b}{||a||}$
投影向量：把3代入2再，2再代入1，可得：
$b_{\perp }=||b||\frac{a\cdot b}{||a||||b||}\frac{a}{||a||}=\frac{a\cdot b}{||a|{|}^2}a$

得到向量$b$在向量$a$上的投影向量后，我们可根据向量减法求出另一条直角边所代表的的向量$b-b_{\perp }$

3.通过点乘我们可以知道两个向量的是否指向同一方向

这里$a$和$b$的点乘结果大于0，我们可知他们方向基本上是一致的。$a$和$c$的点乘结果小于0则他们方向相反。如果点乘结果等于0则两个向量垂直。

4.我们可以通过点乘计算两个向量有多么接近

参考3。如果$a$和$b$的点乘结果越接近1，则两个向越接近。越接近-1则两个向量越远离

2.叉乘

几何解释
不同于点乘的结果是一个标量，叉乘的结果是一个向量。该向量同时垂直于两个相乘的向量所定义的平面。因为是一个向量所以有两个属性：一个是模长，一个是方向。模长的计算公式为：
$||a\times b||=||a||||b||sin\theta$
方向则是由两个乘数决定的，根据右手螺旋定则，由乘数指向被乘数，拇指的方向即为叉乘结果的方向

1.作用主要用于方便我们建立一个三维空间的直角坐标系。

代数解释
$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}{y}_a{z}_b-y_b{z}_a\\ z_a{x}_b-x_a{z}_b\\ x_a{y}_b-y_a{x}_b\end{array}\right)$
另一种算法是把$a$写成矩阵的形式A
$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\mathbf{A}\ast \mathbf{b}=\left(\begin{array}{ccc}0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a\\ -y_a& x_a& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_b\\ y_b\\ z_b\end{array}\right)$
向量的叉乘不满足交换律：$a\times b=-b\times a$
一个向量和它自己的叉乘是$0$：$a\times a=0$。因为一个向量与它自己的夹角是0，所以sinθ=0.
$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$
$a\times (kb)=k(a\times b)$

2.第二个作用：判断一个向量在另一个向量的左还是右

根据右手螺旋定则，如果$a$和$b$在xy平面内，他们两个的的叉乘结果如果是正值则证明$b$在$a$的左侧，反之$b$在$a$的右侧。

3.第三个作用：判断内外

分别用$AB\times AP$、$BC\times BP$、$CA\times CP$得出每次P点都在左侧，即为在该区域内部

3.点乘和叉乘的共同应用：把一个向量分解到一个三维直角坐标系上

我们可以定义一个uvw的坐标系
$||u||=||v||=||w||=1$他们三个长度都为1，即为单位向量
$u\cdot v=v\cdot w=u\cdot w=0$三个向量互相垂直
$w=u\times v$叉乘结果等于第三个向量
这样我们就可以得到一个右手的三维直角坐标系。
然后我们把一个向量通过投影分解到这个直角坐标系上。
$p=(p\cdot u)u+(p\cdot v)v+(p\cdot w)w$
投影公式为两个向量的点乘，因为被投的向量是单位向量所以：
在u方向上的投影向量为：$||p||cos\theta u$
以此类推可以得到三个方向上的投影向量。即为分解之前的向量