R语言 方差分析

函数总结：

处理数据

pivot_longer()
mutate(factor)
arrange()
count()
summarise()
levels()查看因子变量各水平，table()查看频数，hist(as.numeric(unlist))绘制直方图

建模判断

aov() %>% summary() # 一元因变量（任意自变量、协变量个数）、多元因变量
manova() %>% summary() # 多元方差分析
manova() %>% summary.aov() # 对多元因变量分别做单因素分析
effects::effect() # 去除协变量效应后的组均值

anova()
car::Anova()
lm() # 线性模型要求预测变量是数值型，lm()用一系列与因子水平相对应的数值型对照变量来代替因子

ancova(~) # 不需要假设回归斜率同质性，允许斜率和截距项依据组别而发生变化
sm::sm.ancova(~) # 不需要假设回归斜率同质性的非参数ANCOVA方法
rrcov::Wilks.test(method=“mcd”) # 稳健单因素MANOVA
vegan::adonis() # 非参数MANOVA

初级可视化（均值、方差、分布）

group_by() %>% plot()
boxplot()
ggplot + geom_boxplot
gplots::plotmeans()

高级可视化

gplots::plotmeans(interaction) # 交互效应
interaction.plot() # 交互效应
boxplot() # 交互效应的不同侧面
HH::ancovaplot() # 含协变量
HH::interaction2wt() # 含多因素、交互效应

多重比较

TukeyHSD()
multcomp::glht(linfct = mcp(“Tukey”))
multcomp::glht(linfct = mcp(rbind))

假设检验

正态性
car::qqPlot(lm)
car::qqPlot(
qchisq(ppoints(nrow), df = ncol),
mahalanobis(cbind, colMeans, cov)) %>% # 检验多元正态性
identify(labels = row.names) # 识别异常点，点击返回索引值

方差齐性
bartlett.test
fligner.test
HH::hov
Box’s M Test # 检验方差-协方差矩阵同质性，即各组的协方差矩阵是否相同。该检验对正态性假设很敏感。

离群点
car::outlierTest
mvoutlier::ap.plot() # 多元离群点
aov(~*) # 回归斜率的同质性

参考文献：
https://www.math.pku.edu.cn/teachers/lidf/docs/Rbook/html/_Rbook/stat-aov.html
https://bbs.pinggu.org/thread-5556558-1-1.html
R语言实战（第二版）

案例：单因素方差分析
（数据见https://www.math.pku.edu.cn/teachers/lidf/docs/Rbook/html/_Rbook/stat-aov.html）

# 载入 ----------------------------------------------------------------------

library(tidyverse)
d.manu.w <- read.table("e://d.manu.w.txt",
                       header = T)
# ctrl + 点击 可以View表格


# 处理 ----------------------------------------------------------------------

# 宽变长\转化因子变量\排序
d.manu <- d.manu.w  %>% 
  pivot_longer(A:C,
               names_to = "grp",
               values_to = "y")  %>% 
  mutate(grp = factor(grp, levels=c("A", "B", "C")))  %>% 
  arrange(grp)
# pivot_longer创建新数据框，mutate为其创建新的变量，并覆盖同名变量

# 建模 ----------------------------------------------------------------------

knitr::kable(d.manu) # 绘制表格
d.manu %>% select(1) %>% table(grp = .) # 分组结果表面，实验为均衡设计

aov.manu <- aov(y ~ grp, data = d.manu)
aov.manu %>% summary()
# 主效应grp（分组）的F检验的p值为0.004，表明
# 95%检验水平下（α=0.05），分组效应显著，各组之间有显著差异。


# 检验 ----------------------------------------------------------------------

# 我们对于结果的信心依赖于做统计检验时数据满足假设条件的程度
# 单因素方差分析中，我们假设因变量服从正态分布、各组方差相等

car::qqPlot(lm(y ~ grp, data = d.manu),
            simulate=TRUE, main="Q-Q Plot", labels=FALSE)
# 注意qqPlot()要求用lm()拟合
# 数据落在95%的置信区间范围内，说明满足正态性假设

bartlett.test(y ~ grp, data = d.manu)
# P值不显著，不拒绝各组方差相等的原假设，通过方差齐性检验
# 结果表明各组方差并没有显著不同
# Bartlett检验：通过求取不同组之间的卡方统计量，判断组间方差是否相等。
# 该方法极度依赖于数据的正态分布假设，否则结果偏差很大。
# 其他检验有Fligner-Killeen检验（fligner.test()函数）和Brown-Forsythe检验（HH::hov()函数）

aov.manu %>% car::outlierTest()
# 方差齐性分析对离群点非常敏感
# 当p>1时将产生NA，从检测结果来看，并没有证据说明数据含有离群点
# 因此根据Q-Q图、Bartlett检验和离群点检验，该数据似乎可以用ANOVA模型拟合得很好。



# 多重比较 --------------------------------------------------------------------

# 为了找到各组两两之间是否有显著差异，可以进行两两的独立两样本t检验，
# 但这样不能利用共同的模型参数，进行多次重复检验也会使得总第一类错误概率变得比较高，发生过度拟合。
# 
# 进行多个假设检验（如均值比较）的操作称为“多重比较”，多次检验会使得总第一类错误概率增大。
# 以两两比较为例，当比较次数很多时，即使所有的组之间都没有真实的差异，很多个两两比较也会找到差异最大的一对，使得发现的的显著差异有很大可能性不是真实存在的。
# 
# 为此，可以进行一些调整， 使得报告的检验p值能够控制总第一类错误概率。
# multcomp包的glht()函数可以对方差分析结果进行多重比较并控制总错误率，其中一种方法是利用J·W·Tukey的HSD方法，能将所有各对平均值同时比较


d.manu %>% group_by(grp) %>% summarise(mean = y %>% mean(),
                                       sd = y %>% sd())
# C组的工作效率显著低于A组和B组， A、B两组之间差异不明显。

# group_by %>% plot
# geom_boxplot
# boxplot
# gplots::plotmeans
# TukeyHSD %>% plot
# multcomp::glht

d.manu %>% group_by(grp) %>% plot(main = "箱线图") # 分组数据自动绘制箱线图

boxplot(y ~ grp,
        data = d.manu,
        main = "箱线图") # 分组数据箱线图

ggplot(data = d.manu, 
       mapping = aes(x = grp, y = y)) + 
  geom_boxplot() +
  ggtitle(label = "箱线图")

gplots::plotmeans(formula = y ~ grp,
                  data = d.manu,
                  main = "组均值图")

aov.manu %>% TukeyHSD()
aov.manu %>% TukeyHSD() %>% plot()
# AB组间均值差异不显著，p值不显著，不拒绝组间均值相等的原假设
# 成对比较图形中，AB置信区间包含0，说明差异不显著

library(multcomp)
aov.manu %>% multcomp::glht(model = .,
                            linfct = mcp(grp = "Tukey")) %>% summary()
aov.manu %>% multcomp::glht(model = .,
                            linfct = mcp(grp = "Tukey")) %>% plot()
aov.manu %>% multcomp::glht(model = .,
                            linfct = mcp(grp = "Tukey")) %>% 
  cld(level=.05) %>% plot() # 默认95%CI
# AB组间均值差异不显著，p值不显著，不拒绝组间均值相等的原假设
# Tukey HSD检验的结果显示，0.05水平下，A和B没有显著差异，C与A、B均有显著差异

协方差分析

# 载入 ----------------------------------------------------------------------
library(tidyverse)
data(litter, package="multcomp") # ctrl + click 
litter %>% str()
litter %>% tibble()
litter %>% count(dose) %>% knitr::kable()
litter$dose %>% table(dose = .) %>% knitr::kable()


# 建模 ----------------------------------------------------------------------

aov.lit1 <- aov(weight ~ gesttime + dose, 
                data = litter)
aov.lit1 %>% summary()
# 排除协变量gesttime影响后， 在0.05水平下， 四个处理组之间有显著差异

# 多重比较 --------------------------------------------------------------------

library(multcomp)
aov.lit1 %>% multcomp::glht(
  linfct = mcp(
    dose = rbind("服药与不服药比较" = c(3, -1, -1, -1))
  )
) %>% summary()
# 假设检验的t统计量（2.581）在p<0.05水平下显著,服药的和不服药组的均值有显著差异



# 检验 ----------------------------------------------------------------------


# ANCOVA与ANOVA相同，都需要正态性和同方差性假设。另外，ANCOVA还假定回归斜率相同。
# car::qqPlot()
# bartlett.test()
# car::outlierTest()
# aov(*)

# ANCOVA模型包含怀孕时间×剂量的交互项时，可对回归斜率的同质性进行检验。
# 交互效应若显著，则意味着时间和幼崽出生体重间的关系依赖于药物剂量的水平。
litter %>% aov(data = .,
               formula = weight ~ gesttime*dose) %>% summary()
# ~ x协*x自 包含了x协、x自 以及二者交互项对因变量的回归斜率
# 可以看到交互效应不显著，支持了斜率相等的假设。
# 若假设不成立，变换协变量或因变量，或使用能对每个斜率独立解释的模型，
# 或使用不需要假设回归斜率同质性的非参数ANCOVA方法，sm::sm.ancova()



# 可视化 ---------------------------------------------------------------------

# group_by() %>% plot()
# ggplot + geom_boxplot
# boxplot()
# 
# gplots::plotmeans()
# TukeyHSD()
# multcomp::glht %>% cld %>% plot# 
# HH::ancovaplot

HH::ancovaplot(weight ~ gesttime + dose, data = litter)

多因素方差分析

# 函数总结 --------------------------------------------------------------------

# 处理数据
pivot_longer()
mutate(factor)
arrange()
count()
summarise()
# levels()查看因子变量各水平，table()查看频数，hist(as.numeric(unlist))绘制直方图


# 建模判断
aov() %>% summary() # 一元因变量（任意自变量、协变量个数）、多元因变量
manova() %>% summary() # 多元方差分析
manova() %>% summary.aov() # 对多元因变量分别做单因素分析
effects::effect() # 去除协变量效应后的组均值

# 其他建模
lm()
# 线性模型要求预测变量是数值型，lm()用一系列与因子水平相对应的数值型对照变量来代替因子
# 对照处理用于无序因子，正交多项式用于有序因子，通过contrasts()函数查看它的编码过程
anova()
car::Anova()

ancova(~*) # 不需要假设回归斜率同质性，允许斜率和截距项依据组别而发生变化
sm::sm.ancova(~*) # 不需要假设回归斜率同质性的非参数ANCOVA方法
rrcov::Wilks.test(method="mcd") # 稳健单因素MANOVA
vegan::adonis() # 非参数MANOVA


# 初级可视化（均值、方差、分布）
group_by() %>% plot()
boxplot()
ggplot + geom_boxplot
gplots::plotmeans()

# 高级可视化
gplots::plotmeans() # 单因素或交互效应
interaction.plot() # 交互效应
boxplot() # 交互效应的不同侧面
HH::ancovaplot() # 含协变量
HH::interaction2wt() # 含多因素、交互效应

# 多重比较
TukeyHSD()
multcomp::glht(linfct = mcp("Tukey"))
multcomp::glht(linfct = mcp(rbind))


# 假设检验
car::qqPlot(lm)
car::qqPlot(
  qchisq(ppoints(nrow), df = ncol),
  mahalanobis(cbind, colMeans, cov)) %>% # 检验多元正态性
  identify(labels = row.names) # 识别异常点，点击返回索引值

bartlett.test
fligner.test
HH::hov
Box’s M Test # 检验方差-协方差矩阵同质性，即各组的协方差矩阵是否相同。
# 该检验对正态性假设很敏感，导致在大部分案例中直接拒绝同质性假设。

car::outlierTest
mvoutlier::ap.plot() # 多元离群点
aov(~*) # 回归斜率的同质性


# 载入、处理 -------------------------------------------------------------------

library(tidyverse)
data(ToothGrowth, package="datasets") # ctrl + click
ToothGrowth %>% str()
ToothGrowth$dose %>% table(dose = .)

d.tooth <- ToothGrowth %>% mutate(
  supp = factor(supp, levels=c("OJ", "VC")),
  dose = factor(dose, levels=c(0.5, 1.0, 2.0))
) # 创建并覆盖

d.tooth %>% count(supp,dose) %>% knitr::kable() # 均衡设计


# 建模 ----------------------------------------------------------------------

# 由上可知，这个数据结果来自均衡、重复测量的实验设计
aov.to1 <- aov(len ~ dose + supp + dose:supp, 
               data = d.tooth)
aov.to1 %>% summary()
# 在0.05水平下， 两个主效应和交互作用效应都显著

原书：R in action

# 单因素方差分析 -------------------------------------------------------
library(tidyverse)
library(multcomp)
cholesterol %>% tibble()
cholesterol %>% attach()
trt %>% table(treatment = .) # 各组样本大小
# 每10个患者接受其中一个药物疗法

# 各组均值、标准差
response %>% aggregate(by = trt %>% list(),
                       FUN = "mean")
response %>% aggregate(by = trt %>% list(),
                       FUN = "sd")
cholesterol %>% group_by(trt) %>% 
  summarise(mean = response %>% mean(),
            sd = response %>% sd())
# 均值显示drugE降低胆固醇最多，而1time降低胆固醇最少
# 各组的标准差相对恒定，在2.88到3.48间浮动

# 检验组间差异（ANOVA）
fit <- aov(response ~ trt, data = cholesterol)
fit %>% summary()
# ANOVA对治疗方式的F检验非常显著，说明五种疗法的效果不同

# 绘制各组均值及其置信区间
library(gplots)
plotmeans(response ~ trt,
          data = cholesterol,
          xlab = "治疗方案",
          ylab = "治疗效果",
          main = "❥\t95%置信区间的均值\t❥")
# 带有95%的置信区间的各疗法均值，可以清楚看到它们之间的差异
cholesterol %>% detach()


# 多重均值比较：对各组均值差异的成对检验 -----------------------------------------------------
# 多重比较方法是一个复杂但正迅速发展的领域，
# 可参考Bretz、Hothorn和Westfall的Multiple Comparisons Using R（2010）一书
par(las = 1) # 刻度线上的标签 0平行 2垂直 1向上 3向左
par(mar = c(4,7,2,1)) # 边距大小：底部、左侧、顶部和右侧
fit %>% TukeyHSD()
fit %>% TukeyHSD() %>% plot()
# 1time和2times的均值差异不显著（p=0.138）
# 而1time和4times间的差异非常显著（p<0.001）
# 图形中置信区间包含0的疗法说明差异不显著（p>0.5）#

par(mar = c(4,4,6,.5))
fit %>% multcomp::glht(linfct = mcp(trt = "Tukey"))
fit %>% multcomp::glht(linfct = mcp(trt = "Tukey")) %>% 
  multcomp::cld(level = .05) %>% plot(col = "lightgrey")
# multcomp包中的glht()函数适用于本例中线性模型，也适用于广义线性模型
# cld()函数的level选项设置了显著水平（0.05，即本例中的95%的置信区间）
# plot(cld(glht))比plot(TukeyHSD)更好理解，还提供了各组得分的分布信息
# 有相同字母的组（用箱线图表示）说明均值差异不显著 #
# 1time和2times差异不显著（有相同的字母a）
# 2times和4times差异也不显著（有相同的字母b）
# 而1time和4times差异显著（它们没有共同的字母）#
# 从结果来看，一天四次5mg剂量比一天一次20mg剂量效果更佳，
# 且与候选药物drugD差异不大，但药物drugE比其他所有药物和疗法都更优。


# 假设检验 --------------------------------------------------------------------
# 我们对于结果的信心依赖于做统计检验时数据满足假设条件的程度
# 单因素方差分析中，我们假设因变量服从正态分布、各组方差相等
# 使用Q-Q图来检验正态性假设 #
car::qqPlot(lm(formula = response ~ trt, data = cholesterol),
            simulate = TRUE,
            main = "QQ图",
            labels = FALSE)
# 注意qqPlot()要求用lm()拟合
# 数据落在95%的置信区间范围内，说明满足正态性假设

# 方差齐性检验：Bartlett检验
bartlett.test(response ~ trt, data = cholesterol)
# Bartlett检验表明五组的方差并没有显著不同（p=0.97）
# 其他检验如Fligner-Killeen检验（fligner.test()函数）
# 和Brown-Forsythe检验（HH包中的hov()函数）结果与Bartlett检验相同
# 方差齐性分析对离群点非常敏感。利用car包的outlierTest()函数来检测离群点
car::outlierTest(fit) # fit <- aov()
# 没有证据说明胆固醇数据中含有离群点（当p>1时将产生NA）。
# 因此根据Q-Q图、Bartlett检验和离群点检验，该数据似乎可用ANOVA模型拟合得很好


# 单因素协方差检验 ----------------------------------------------------------------
# data(litter, package="multcomp")
litter %>% tibble()
litter %>% attach()
# 各组样本大小
dose %>% unlist() %>% unlist() %>% as.numeric() %>% 
  hist(xaxt = "n")
axis(1, at = c(1,2,3,4), labels = c(0,5,50,500))
dose %>% table("剂量" = .) / litter %>% nrow()
# 可以看到每种剂量下所产的幼崽数并不相同：
# 0剂量时（未用药）产崽20个，500剂量时产崽17个

# 各组体重描述性统计
weight %>% aggregate(by = dose %>% list(),
                     FUN = "mean")
weight %>% aggregate(by = dose %>% list(),
                     FUN = "sd")
litter %>% group_by(dose) %>% 
  summarise(mean = weight %>% mean(),
            sd = weight %>% sd())
# 发现未用药组幼崽体重均值最高（32.3）。

# 单因素ANCOVA
fit <- aov(weight ~ gesttime + dose, # 协变量在前 #
           data = litter)
fit %>% summary()
# ANCOVA的F检验表明：(a)怀孕时间与幼崽出生体重相关（p=0.00597）；
#   (b)控制怀孕时间，药物剂量与出生体重相关：
# 控制怀孕时间，每种药物剂量下幼崽出生体重均值不同（p=0.04988）。


# 计算去除协变量效应后的组均值 ----------------------------------------------------------
# 由于使用了协变量，获取调整的组均值，即去除协变量效应后的组均值。
fit %>% effects::effect("dose", .)
fit %>% effects::effect("dose", .) %>% plot()
plot(c(32.3, 29.3, 29.9, 29.6),
     type = "b",
     main = "调整前各组均值")
points(c(32.4, 28.9, 30.6, 29.3),
       col = 2,
       type = "b")
# 本例中调整的均值与未调整的均值类似，但并非所有的情况都是如此


# 自定义对照的多重均值比较 -----------------------------------------------------
# 剂量的F检验虽然表明了不同的处理方式幼崽的体重均值不同，
# 但无法告知我们哪种处理方式与其他方式不同。
# 同样，我们使用multcomp包来对所有均值进行成对比较。
# 另外，multcomp包还可以用来检验用户自定义的均值假设。
# 假定你对未用药条件与其他三种用药条件影响是否不同感兴趣
fit %>% multcomp::glht(.,
  linfct = mcp(
    dose = rbind(
      "no drug vs. drug" = c(3, -1, -1, -1)))) %>% 
  summary()
# 对照c(3, -1, -1, -1)设定第一组和其他三组的均值进行比较 #
# 假设检验的t统计量（2.581） 在p<0.05水平下显著，
# 因此，可以得出未用药组比其他用药条件下的出生体重高的结论。
# 其他对照可用rbind()函数添加（详见help(glht)）。


# 评估检验的假设条件 ---------------------------------------------------------------
# ANCOVA与ANOVA相同，都需要正态性和同方差性假设；
car::qqPlot(lm(formula = weight ~ gesttime + dose, 
               data = litter),
            simulate = TRUE,
            main = "QQ图",
            labels = FALSE)
bartlett.test(weight ~ dose, data = litter)
bartlett.test(weight ~ gesttime, data = litter)
bartlett.test(gesttime ~ dose, data = litter)
fit %>% car::outlierTest()
# 另外，ANCOVA还假定回归斜率相同：
# 本例中，假定四个处理组通过gesttime来预测weight的回归斜率都相同
# ANCOVA模型包含gesttime × dose的交互项时，可对回归斜率的同质性进行检验
# 交互效应若显著，则意味着gesttime和weight间的关系依赖于药物剂量的水平
fit2 <- aov(formula = weight ~ gesttime*dose,
            data = litter)
fit2 %>% summary() # summary.aov() 效果相同
# 可以看到交互效应不显著，支持了斜率相等的假设 #
# 若假设不成立，可以尝试变换协变量或因变量，
# 或使用能对每个斜率独立解释的模型，
# 或使用不需要假设回归斜率同质性的非参数ANCOVA方法。
# sm包中的sm.ancova()函数为后者提供了一个例子。
?sm::sm.ancova()
sm::sm.ancova(x = weight,
              y = gesttime,
              group = dose,
              data = litter,
              model = "none")


# 结果可视化 -------------------------------------------------------------------
library(HH)
ancova(response ~ trt + trt, data = cholesterol)
ancova(weight ~ gesttime + dose, data = litter) # groups = dose 效果一样
# 用怀孕时间来预测出生体重的回归线相互平行，只是截距项不同。
# 随着怀孕时间增加，幼崽出生体重也会增加。
# 另外，还可以看到0剂量组截距项最大，5剂量组截距项最小。
# 由于你上面的设置，直线会保持平行，
# 若用ancova(weight ~ gesttime*dose)，
# 生成的图形将允许斜率和截距项依据组别而发生变化，
# 这对可视化那些违背回归斜率同质性的实例非常有用。


# 双因素方差分析 -----------------------------------------------------------------
attach(ToothGrowth)
table(supp, dose)
# 表明该设计是均衡设计（各设计单元中样本大小都相同）
len %>% aggregate(by=list(supp, dose), FUN=mean)
len %>% aggregate(by=list(supp, dose), FUN=sd)
ToothGrowth %>% group_by(supp, dose) %>% summarise(mean = mean(len),
                                                   sd = sd(len))
# 获得各单元的均值和标准差
dose <- factor(dose) # 因子变量（分组变量），数值型（协变量）
# 转换为因子变量，这样aov()函数就会将它当做一个分组变量，而不是一个数值型协变量。
fit <- aov(len ~ supp*dose)
summary(fit)
# 用summary()函数得到方差分析表，可以看到主效应（supp和dose）和交互效应都非常显著
# 双因素方差分析的交互效应可视化处理
interaction.plot(dose, supp, len,
                 type="b", col=c("red","blue"), pch=c(16, 18), 
                 main = "Interaction between Dose and Supplement Type")
# 展示各种dose下len的均值
gplots::plotmeans(len ~ interaction(supp, dose, sep=" "), 
                  connect=list(c(1,3,5),c(2,4,6)), 
                  col=c("red", "darkgreen"), 
                  main = "Interaction Plot with 95% CIs", 
                  xlab="Treatment and Dose Combination")
# 还展示了均值、误差棒（95%的置信区间）和样本大小
# 它能展示任意复杂度设计（双因素方差分析、三因素方差分析等）的主效应（箱线图）和交互效应
HH::interaction2wt(len~supp*dose)
# 都表明随着两种supp的dose的增加，len增长，（左下、右上）
# 对于0.5mg和1mg剂量，OC比VC更能促进牙齿生长；对于2mg剂量，两种supp下牙齿长度增长相同（右下）
detach(ToothGrowth)


# 重复测量方差分析 ----------------------------------------------------------------
CO2 %>% tibble()
CO2$conc <- factor(CO2$conc)
# 因子(factor)和有序因子(ordered factor)因子用来存储类别变量(categorical variables)和有序变量
CO2 %>% select(3) %>% table(Treatment = .)
w1b1 <- subset(CO2, Treatment=='chilled') # factor
w1b1 %>% tibble()
fit <- w1b1 %>% aov(data = .,
  uptake ~ conc*Type + 
    Error( Plant / conc))
fit %>% summary()
# 方差分析表表明在0.01的水平下，主效应类型和浓度以及交叉效应类型×浓度都非常显著
par(las = 1) # 刻度线上的标签 0平行 2垂直 1向上 3向左
par(mar=c(4,4,4,2))
w1b1 %>% with(.,
              interaction.plot(conc, Type, uptake,
                               type = "b", pch = c(16,18),
                               col = c(2,4),
                               main = "植物类型和吸收量的交互效应"))
boxplot(uptake ~ Type*conc, data = w1b1, 
        col = (c("gold", "green")), 
        main="Chilled Quebec and Mississippi Plants", 
        ylab="Carbon dioxide uptake rate (umol/m^2 sec)")
# 魁北克省的植物比密西西比州的植物二氧化碳吸收率高，
# 且随着CO2浓度的升高，差异越来越明显。
# 处理重复测量设计时，需要有长格式数据才能拟合模型 #


# 多元方差分析 ------------------------------------------------------------------
MASS::UScereal%>% attach()
shelf <- factor(shelf)
# 将shelf变量转换为因子变量，使它在后续分析中能作为分组变量
y <- cbind(calories, fat, sugars)
# 将三个因变量（卡路里、脂肪和糖）合并成一个矩阵
y %>% aggregate(by = list(shelf),
                FUN = mean) # 多个变量求均值aggregate更方便
y %>% cov()
fit <- manova(y ~ shelf)
# 对组间差异进行多元检验
# F值显著，说明三个组的营养成分测量值不同
# shelf变量已经转成了因子变量，因此它可以代表一个分组变量
summary(fit)
# 由于多元检验显著，使用summary.aov()对每一个变量做单因素方差分析
summary.aov(fit)
# 结果显示三组中每种营养成分的测量值都是不同的
# 还可以用均值比较步骤（比如TukeyHSD）来判断对于每个因变量，哪种货架与其他货架都是不同的
aov(y[,1] ~ shelf) %>% TukeyHSD() %>% plot()
aov(y[,2] ~ shelf) %>% TukeyHSD() %>% plot()
aov(y[,3] ~ shelf) %>% TukeyHSD() %>% plot()
multcomp::glht(aov(y ~ shelf))
gplots::plotmeans(y ~ shelf)
HH::ancova(fat ~ shelf, data = MASS::UScereal)