数学建模：线性回归模型的Python实现

目录

一.一元线性回归

1.1 引子

1.2 求解系数a和截距b的方法：最小二乘法

1.3 案例解决

 1.4 模型检验

二.多元线性回归

2.1 式子

2.2 核心代码

2.3 案例解决

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一.一元线性回归

1.1 引子

    现有数据：（1,3),(3,5),(4,7),(5,8)，请根据这4个坐标求出y与x的函数关系。

    废话不多说，我们直接开整：

    1.绘制散点图

import matplotlib.pyplot as plt
X = [[1], [3], [4], [5]]
Y = [3, 5, 7, 8]
plt.scatter(X, Y)
plt.show()

    2.搭建模型并预测(预测3个自变量对应的因变量)

from sklearn.linear_model import LinearRegression
regr = LinearRegression()
regr.fit(X,Y)

y = regr.predict([[2], [2.3], [5.2]]) #3个自变量
print(y)

 得到的结果：

4.14285714

4.52857143

8.25714286

    3.模型可视化

plt.scatter(X, Y)
plt.plot(X, regr.predict(X))
plt.show()

    4.线性回归方程:y = ax+b

print('a:' + str(regr.coef_[0]))
print('b:' + str(regr.intercept_))

得到的回归方程：y = 1.29x+1.57

1.2 求解系数a和截距b的方法：最小二乘法

    假设线性回归模型的拟合方程为y = ax+b。为了衡量实际值与预测值的接近程度，我们使用残差平方和（两者差值的平方和）进行衡量。

     拟合的目的是为了让残差平方和尽可能地小，则应对残差平方和进行求导（对a和b分别进行求导），导数为0时，该残差平方和取得极值。

     将所有(x,y)的代入上式即可求得a和b的值。

1.3 案例解决

    现有某公司员工收入情况的数据（某公司员工收入.xlsx），自变量为工作时间，因变量为年收入，根据数据求出一元线性回归方程。

1.绘制散点图

import pandas as pd
from matplotlib import pyplot as plt
df = pd.read_excel('某公司员工收入.xlsx')
df.head()
X = df[['工作时间']]
Y = df['年收入']
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.scatter(X,Y)
plt.xlabel('工作时间')
plt.ylabel('年收入')
plt.show()

 2.模型搭建

from sklearn.linear_model import LinearRegression
regr = LinearRegression()
regr.fit(X,Y)

3.模型可视化

plt.scatter(X,Y)
plt.plot(X, regr.predict(X), color='red')  # color='red'设置为红色
plt.xlabel('工作时间')
plt.ylabel('年收入')
plt.show()

4.求出a与b的值

print('a:' + str(regr.coef_[0]))
print('b:' + str(regr.intercept_))

得到结果：y = 3.5202x-1.1071

 1.4 模型检验

    以下主要从两方面来检验模型的好坏：R-squared（R方）、Adj.R-squared（Adjusted R方）。R-squared、Adj.R-squared的取值范围为[0,1]，它们的值越接近1，说明模型的拟合程度越高。

import statsmodels.api as sm
X2 = sm.add_constant(X)
est = sm.OLS(Y,X2).fit()
print(est.summary())

     由图可知，R-squared、Adj.R-squared的值分别为0.874、0.870，说明模型拟合程度较高。

完整代码

#读取数据
import pandas as pd
from matplotlib import pyplot as plt
df = pd.read_excel('某公司员工收入.xlsx')
df.head()
X = df[['工作时间']]
Y = df['年收入']
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.scatter(X,Y)
plt.xlabel('工作时间')
plt.ylabel('年收入')
plt.show()

#模型搭建
from sklearn.linear_model import LinearRegression
regr = LinearRegression()
regr.fit(X,Y)

#模型可视化
plt.scatter(X,Y)
plt.plot(X, regr.predict(X), color='red')  # color='red'设置为红色
plt.xlabel('工作时间')
plt.ylabel('年收入')
plt.show()

#结果
print('系数a为:' + str(regr.coef_[0]))
print('截距b为:' + str(regr.intercept_))

#模型检验
import statsmodels.api as sm
X2 = sm.add_constant(X)
est = sm.OLS(Y,X2).fit()
print(est.summary())

二.多元线性回归

2.1 式子

    多元线性回归模型的表示方式：y = k0 + k1*x1 + k2*x2 + ... +kn*xn。其中，x1、x2、x3...为不同的特征变量，k1、k2、k3...为系数，k0为常数项。

2.2 核心代码

    多元线性回归模型的核心代码与一元线性回归模型相同：

from sklearn.linear_model import LinearRegression
regr = LinearRegression()
regr.fit(X,Y)

2.3 案例解决

    已有数据集企业综合实力.xlsx，特征变量有4个，因变量为企业的综合实力，现通过该数据集求出多元线性回归模型。

1.读取数据

import pandas as pd
df = pd.read_excel('企业综合实力.xlsx')
df.head()  # 显示前5行数据

X = df[['指标1', '指标2', '指标3', '指标4']]
Y = df['综合实力']

2.模型搭建

from sklearn.linear_model import LinearRegression
regr = LinearRegression()
regr.fit(X,Y)

3.方程构建

regr.coef_
print('各系数为:' + str(regr.coef_))
print('常数项系数k0为:' + str(regr.intercept_))

4.模型检验

import statsmodels.api as sm  # 引入线性回归模型评估相关库
X2 = sm.add_constant(X)
est = sm.OLS(Y, X2).fit()
est.summary()

     由检验结果知，R-squared、Adj.R-squared的值分别为0.586和0.571，拟合效果一般。

完整代码

#数据读取
import pandas as pd
df = pd.read_excel('企业综合实力.xlsx')
df.head()  # 显示前5行数据

X = df[['指标1', '指标2', '指标3', '指标4']]
Y = df['综合实力']

#模型搭建
from sklearn.linear_model import LinearRegression
regr = LinearRegression()
regr.fit(X,Y)

#方程构建
regr.coef_
print('各系数为:' + str(regr.coef_))
print('常数项系数k0为:' + str(regr.intercept_))

#模型检验
import statsmodels.api as sm  # 引入线性回归模型评估相关库
X2 = sm.add_constant(X)
est = sm.OLS(Y, X2).fit()
est.summary()