从零开始学数据分析之——《线性代数》第一章 行列式

写在前面

三十而立之年，开始自学数据分析，工作比较清闲，现发帖记录自己的数据分析之路，数据分析要学很多的东西，经过多月的摸索，目前分两个方面开始学习：

·知识方面：数学为王，拿起书本，重学《概率与统计》、《微积分》、《线性代数》

·软件方面：MySQL、Python

将暂时更新这几个序列，以便记录。

此篇为《线性代数》，第四版，经济科学出版社出版，为B站宋浩老师《线性代数》教学视频所用教材，自己也是跟着宋老师学，边学边做笔记，在此特别感谢像宋老师一样无私奉献的人。本书共7章，纯手工码字，视内容多少，分批次发布。

第一章  行列式

1.1 n阶行列式

1.1.1 二阶、三阶行列式

二阶行列式：2行2列4个元素

,i-行标，j-列标

主对角线：从左上角到右下角的对角线

次对角线：从右上角到左下角的对角线

三阶行列式：3行3列9个元素

三阶行列式的对角线展开法：

 1.1.2 排列与逆序

排列：由1，2，···，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。（中间不能缺数）

n级排列共有n！种

逆序：大数排在小数的前面

逆序数：逆序的总数

例题：N（4213）=4

逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列为奇排列。

N(1,2,3,···n) 标准排列

数逆序数：（1）从第一个开始，数后面有几个比它小的（2）切记顺序不能乱来

对换：交换两个数

例题：N(54123)=7

           N(54213)=8

一个排列经过一个对换后，奇偶性改变。

定理：n级排列中，奇偶排列各占一半，是个

1.1.3 n阶行列式

n阶行列式

第一种定义（按行展开）

行标取标准排列，列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘，符号由列标排列的奇偶性决定。

第二种定义（按列展开）

列标取标准排列，行标取排列的所有可能，从不同行不同列取出n个元素相乘，符号由行标排列的奇偶性决定。

简记为

下三角行列式：

=主对角线上所有元素的乘积

上三角行列式：

=主对角线上所有元素的乘积

对角线行列式：

=主对角线上所有元素的乘积

1.2 行列式的性质

转置：将原来行列式D的行和列互换，转置后的记作或.

性质1:，对行成立的性质，对列也成立

性质2:两行（列）互换，行列式值变号

性质3:两行（列）相等，D=0

性质4:某一行都乘k，等于用k乘以D

推论：行列式某一行有公因子k，k可以提到外面去

行列式所有元素，均有公因子k，k外提n次

性质5:行列式两行（列）对应成比例，则D=0

推论：行列式某一行（列）全为0，则D=0

性质6:若行列式的某一行（列）中所有元素都是两项和，则该行列式可表为两个行列式相加

（注：是和的那一行分开，其余行保持不变）

性质7:某一行（列）乘以一个数加到另一行（列）上去，行列式的值不变

1.3 行列式按行（列）展开

余子式：将元素所在第i行和第j列去掉，剩下的元素按原来相对位置所构成的n-1阶行列式称为D中元素的余子式，记为.

代数余子式：

定理（按某行（列）展开）：

（1）降阶（2）选0多的行（列）展开

定理（异乘变零）：

某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0

拉普拉斯定理：

取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D

k阶子式：任选k行k列，交叉处的个元素构成的行列式

行列式相乘法则（同阶行列式）：第一个行列式每一行去乘第二个行列式每一列，相加放在第一行，以此计算，最终得到的行列式

1.4 行列式的计算

 计算方法一般是：先选定某一行（列），且这一行（列）尽可能含有零，并利用行列式性质将其中元素尽可能多地化成零，然后再按这一行（列）展开；如此继续下去，即可求的所要的结果。

范德蒙德行列式：

1.5 克莱姆法则

只适用于方程个数=未知量个数

系数行列式：未知数系数组成的行列式

克莱姆法则：含n个方程n个未知量的线性方程组，当其系数行列式时，有唯一解

                        

齐次线性方程组：常数项全为零的线性方程组

定理：如果齐次线性方程组的系数行列式，则它只有零解。

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数行列式