迪杰斯特拉算法解析

一.理论基础

迪杰斯特拉算法（下文简称DJ算法）是理论基础是一条简单的定理：

下一条最短路径或者是弧(V0, Vx)，或者是中间经过S中的某些顶点，而后到达Vx的路径。（S是最短路径已知的顶点集合）

（为了准确的描述定理，这里就直接摘抄了。。至于它对不对，嗯，据说反证法可证之）很明显这是一个递推算法：反复求下一条，直至没有下一条为止。

二.问题分析

现有加权有向图如下：

求从V0出发，到达其它各个顶点的最短路径。

首先为了把它转换成便于描述的数学形式，得写出对应的邻接矩阵（x表示不可达）：

0	50	10	x	45	x
x	0	15	x	10	x
20	x	0	15	x	x
x	20	x	0	35	x
x	x	x	30	0	x
x	x	x	3	x	0

分析定理可以得出：目前S集合中只有1个顶点：V0（V0到自身的肯定是最短路径），除了S集合这个辅助空间外，我们还需要：

• V集合：最短路径未知的顶点组成的集合，即S集合的补集
• path[]：记录最短路径，用来显示结果
• dist[]：记录路径长度，作用同上
• Vx：记录下一个顶点

准备工作结束，可以开始求解了

三.求解过程

0.初始状态

dist[]初始化为V0到各个顶点的直接距离（x表示不可直达），path[]初始化为对应的路径，不可直达的记作NULL，选取V集合中dist值最小的顶点V2作为下一个顶点（定理中的Vx）

1.第1步

把V2加入S集合，我们多了一个中转站V2，接下来更新dist[]，看借助V2中转的话是不是更短，根据计算结果更新dist[]和path[]，把更短的路径长度和对应路径放进去，V集合中dist值最小的V3作为下一个顶点

2.第2-5步

继续选取下一个顶点，直至V集合中没有可选顶点为止

四.总结

DJ算法过程非常简单：

1. 确定S中的第一个点（也就是源点V0）；
2. 根据定理递推（一直找最短，并试图借助最短中转）

算法思路本身不难，当初看不明白是因为被具体的伪代码实现绕进去了，所以学习算法应该关注思路而不是具体实现，尤其是伪代码算法，通常会随意声明一些奇怪的数据结构，却不解释为什么需要这些辅助空间，比如本例中，S集合和V集合只需要有一个即可，path[]和dist[]也可以用结构体清晰的表示出来，但伪代码中零零散散的全都用到了，过多的辅助空间反而妨碍了理解算法本身。