梯度下降：BGD、SGD、mini-batch GD介绍及其优缺点

引言

梯度下降：两个意思，

1. 根据梯度（导数）的符号来判断最小值点x在哪；
2. 让函数值下降（变小）。

简单来说就是一种寻找目标函数最小化的方法，它利用梯度信息，通过不断迭代调整参数来寻找合适的目标值。
其共有三种：

1. BGD,batch gradient descent:批量梯度下降
2. SGD,stochastic gradient descent:随机梯度下降
3. mini-batch GD,mini-batch gradient descent:小批量梯度下降

BGD

假设有损失函数：

y ^ 是预测值，y是真实值，共有m个预测值。若要最小化损失函数，需要对每个参数α 0 , α 1 , . . . , α n 求梯度，但是对BGD通常是取所有训练样本损失函数的平均作为损失函数，假设有β 个样本，则

所以有梯度更新：

l为学习率，即步长，是一个经验值，过大容易找不到相对最优解，过小会使得优化速度过慢.
l后面是损失函数对参数αi求偏导数

优点：

• 一次迭代是对所有样本进行计算，此时利用矩阵进行操作，实现了并行。
• 由全数据集确定的方向能够更好地代表样本总体，从而更准确地朝向极值所在的方向。当目标函数为凸函数时，BGD一定能够得到全局最优。

缺点：

• 当样本数目 m 很大时，每迭代一步都需要对所有样本计算，训练过程会很慢。（有些样本被重复计算，浪费资源）

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SGD

如果使用BGD会有一个问题，就是每次迭代过程中都要对几个样本进行求梯度，所以开销非常大，随机梯度下降的思想就是随机采样一个样本来更新参数，注意只是一个样本，大大的降低了计算开销。
为了简便计算，SGD每次迭代仅对一个样本计算梯度，直到收敛。伪代码如下（以下仅为一个loop，实际上可以有多个这样的loop，直到收敛）：

由于SGD每次迭代只使用一个训练样本，因此这种方法也可用作online learning。
每次只使用一个样本迭代，若遇上噪声则容易陷入局部最优解。

优点：

• 由于不是在全部训练数据上的损失函数，而是在每轮迭代中，随机优化某一条训练数据上的损失函数，这样每一轮参数的更新速度大大加快。

缺点：

• 准确度下降。由于即使在目标函数为强凸函数的情况下，SGD仍旧无法做到线性收敛。
• 可能会收敛到局部最优，由于单个样本并不能代表全体样本的趋势.
• 不易于并行实现。

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mini-batch GD

SGD虽然提高了计算效率，降低了计算开销，但由于每次迭代只随机选择一个样本，因此随机性比较大，所以下降过程中非常曲折，效率也相应降低，所以mini-batch GD采取了一个折中的方法，每次选取一定数目(mini-batch)的样本组成一个小批量样本，然后用这个小批量来更新梯度，这样不仅可以减少计算成本，还可以提高算法稳定性。

从公式上似乎可以得出以下分析：速度比BGD快，比SGD慢；精度比BGD低，比SGD高。

优点：融合了BGD和SGD优点

• 通过矩阵运算，每次在一个batch上优化神经网络参数并不会比单个数据慢太多。
• 每次使用一个batch可以大大减小收敛所需要的迭代次数，同时可以使收敛到的结果更加接近梯度下降的效果。
• 可实现并行化。

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基本最常用的就是mini-batch了 ，根据服务器性能选择合适的batch_size可以大大提高效率

三者的区别

参考

• GD(gradient descent):梯度下降法(BGD,SGD,mini-batch GD)
• 批量梯度下降（BGD)、小批量梯度下降（mini-BGD)、随机梯度下降（SGD）优缺点比较