数字图像处理第三章 灰度变换与空间滤波
灰度变换与空间滤波
- 1 引言
- 2 基本的灰度变换函数
- 3 直方图处理
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- 直方图均衡
- 直方图匹配（规定化）
- 局部直方图处理
- 在图像增强中使用直方图统计
- 4 空间滤波
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- 空间滤波机理
- 平滑空间滤波器
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- 平滑线性滤波器
- 统计排序（非线性）滤波器
- 锐化空间滤波器
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- 基本概念
- 拉普拉斯算子：使用二阶微分进行图像锐化
- 非锐化掩蔽和高提升滤波
- 梯度：使用一阶微分进行图像锐化（非线性）
- 混合空间增强法
1 引言
空间域处理方法直接以图像中的像素操作为基础。主要分为灰度变换和空间滤波两类。
灰度变换在图像的单个像素上操作，主要以对比度和阈值处理为目的。
空间滤波涉及改善性能的操作，如去除噪声，锐化图像。
空间滤波：邻域原点从一个像素向另一个像素移动，对邻域中的像素应用算子T，并在该位置产生输出。是一种邻域处理技术。
邻域和预定义的操作合称空间滤波器（空间掩模、核、模板、窗口）。
邻域大小最小为 1x1，这时为灰度变换，是点处理技术，可以实现对比度拉伸、阈值处理。
灰度变换与空间滤波可广泛用于图像增强。
增强处理是对图像进行加工，使其结果对于特定的应用比原始图像更易于处理。若以人类解译为目标，图像处理的目标以观察者的需求为准。若以机器感知为目标，通常通过给定技术进行量化。
2 基本的灰度变换函数
图像增强常用三种基本函数：线性函数（反转和恒等变换）、对数函数（对数和反对数变换）、幂律函数（n次幂和n次根变换）。
- 图像反转：反转一幅图像的灰度级。
适用于增强嵌入在图像的暗区域中的白色或灰色细节，尤其是当黑色面积在尺寸上占主导地位时。 - 对数变换
将输入中范围较窄的低灰度值映射为输出中较宽范围的灰度值。
即，扩展图像中的暗像素的值，同时压缩更高灰度级的值。反对数变幻的效果相反。 - 幂律（伽马）变换
将较窄范围的暗色输入值映射为较宽范围的输出值。 - 分段线性变换函数
- 对比度拉伸：扩展图像灰度级动态范围。
低对比度图像可由照明不足、成像传感器范围太小，甚至在图像获取过程中镜头光圈设置错误引起。 - 灰度级分层：突出图像中特定灰度范围的亮度。
输出结果是一个二值图像。把感兴趣范围内的所有灰度值显示为一个值（如1），其他灰度值显示为另一个值（如0）。 - 比特平面分层
- 对比度拉伸：扩展图像灰度级动态范围。
3 直方图处理
可用于图像增强。
归一化直方图：纵轴是某一灰度级在图像中出现的概率估计，横轴是图像中所有可能出现的灰度值按序排列。
对于暗图像，直方图分量集中在灰度级的低（暗）端。对于亮图像，直方图分量集中在灰度级的高（亮）端。
低对比度图像有较窄的直方图，集中于灰度级的中部。
高对比度的图像中直方图分量覆盖了很宽的灰度级范围，像素分布没有太不均匀，只有少量垂线比其他的高许多。（这种图像可以展示灰色调的较大变化）
直方图均衡
一幅数字图像中灰度级 r k r_k rk出现的概率近似为 p r ( r k ) = n k M N , k = 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , L − 1 p_r(r_k)=\frac {n_k}{MN}, k=0,1,2,3,...,L-1 pr(rk)=MNnk,k=0,1,2,3,...,L−1。
MN 是图像中像素的总数， n k n_k nk是灰度为 r k r_k rk的像素个数，L是图像中可能的灰度级数量，如256。
直方图均衡通过灰度映射实现： s = T ( r ) , 0 ≤ r ≤ L − 1 s=T(r), 0 \leq r\leq L-1 s=T(r),0≤r≤L−1
r 表示待处理图像的灰度，T 是一种变换函数，使输入图像中每个具有 r 值 的像素值产生一个输出灰度值 s。
T 满足的条件：
- T ( r ) T(r) T(r) 在区间 0 ≤ r ≤ L − 1 0\leq r \leq L-1 0≤r≤L−1上为单调递增函数。
- 当 0 ≤ r ≤ L − 1 0\leq r \leq L-1 0≤r≤L−1 时， 0 ≤ T ( r ) ≤ L − 1 0\leq T(r) \leq L-1 0≤T(r)≤L−1。
对一幅数字图像采用直方图均衡时，使用公式的离散形式：
s k = T ( r k ) = ( L − 1 ) ∑ j = 0 k p r ( r j ) = L − 1 M N ∑ j = 0 k n j , k = 0 , 1 , 2 , . . . , L − 1 s_k=T(r_k)=(L-1)\sum _{j=0}^{k}p_r(r_j)=\frac {L-1}{MN}\sum _{j=0}^{k}n_j, k=0,1,2,...,L-1 sk=T(rk)=(L−1)∑j=0kpr(rj)=MNL−1∑j=0knj,k=0,1,2,...,L−1
直方图均衡是一种全局处理，像素被基于整幅图像的灰度分布的变换函数修改。能自动确定变换函数，该函数可以产生有均匀直方图的输出图像。
直方图匹配（规定化）
（啊我数学太差，先不钻研这部分内容）
直方图匹配的用途：处理后的图像具有规定的直方图形状。
【CM：直方图均衡因为变换函数的是确定的，所以处理后的图像的直方图一般也是固定的。所以直方图匹配通过人为设计变换函数，生成一种具有特定形状的直方图图像。】
直方图规定化的基本过程：先直方图均衡，找到一个满足条件的变换函数 G 进行规定化。
直方图规定化大多时候都是试凑过程。
局部直方图处理
要解决的问题：需要图像的局部区域的细节，但这种细节在全局变换的计算中可能被忽略了。
解决方案：以图像中每个像素的邻域中的灰度分布为基础设计变换函数。
过程：定义一个邻域，把该区域的中心从一个像素移至另一个像素。在每个位置计算邻域中的点的直方图。
在图像增强中使用直方图统计
可以通过均值和方差进行图像增强。
全局均值和全局方差在整个图像上计算，有助于调节总体灰度和对比度。可用于全局增强。
局部均值和局部方差是根据图像中每一像素的邻域内的图像特征进行改变的基础。可有效进行局部增强。
4 空间滤波
空间滤波机理
空间滤波器包括一个邻域和对该邻域内的图像像素执行的预定义操作。
滤波产生一个新像素，其坐标等于邻域中心的坐标，其像素值是滤波操作的结果。
线性空间滤波器对图像像素执行线性操作，与之相对的是非线性空间滤波器。
平滑空间滤波器
平滑滤波器用于模糊处理和降低噪声。
模糊处理常用于预处理任务中。
平滑线性滤波器
平滑线性空间滤波器的输出（响应）是包含在滤波器模板邻域内的像素的简单平均值。因此有时称为均值滤波器。
平滑滤波器的操作：使用滤波器模板确定的邻域内像素的平均灰度值代替图像中每个像素的值。
处理结果：降低了图像灰度的“尖锐”变化，即降低了噪声。但边缘也可能被模糊。
主要应用：降低噪声、去除图像中的不相关细节。不相关是指与滤波器模板尺寸相比较小的像素区域。
邻域的一个理解：当图像细节与滤波器模板近似相同时，图像中的一些细节受到的影响较大。
常用模板：均值、高斯（加权平均）
统计排序（非线性）滤波器
统计排序非线性滤波器的响应以滤波器包围的图像区域中所包含的像素的排序为基础，再使用统计排序结果决定的值代替中心像素的值。
常用滤波器：中值滤波器、最大值滤波器、最小值滤波器。
中值滤波器将像素邻域内灰度的中值代替该像素值。主要功能是使灰度不同的点看起来更接近于其相邻点。因此具有优秀的去噪能力，尤其是针对椒盐噪声（以黑白点的形式叠加在图像上）。
基于相似的原理，最大（小）值滤波器是取最大（小）值，可用于搜寻图像的最亮（暗）点。
锐化空间滤波器
锐化处理主要用于突出灰度的过渡部分，通过空间微分实现。图像微分增强边缘和其他突变（如噪声），而削弱灰度变化缓慢的区域。
基本概念
锐化要处理的是恒定灰度区域中灰度突变的开始点和结束点（台阶和斜坡突变）、灰度斜坡。
对一维函数，一阶微分定义为
∂ f ∂ x = f ( x + 1 ) − f ( x ) \frac {\partial f}{\partial x}=f(x+1)-f(x) ∂x∂f=f(x+1)−f(x)
二阶微分定义为
∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + 1 ) + f ( x − 1 ) − 2 f ( x ) \frac {\partial ^2 f}{\partial x^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x) ∂x2∂2f=f(x+1)+f(x−1)−2f(x)
拉普拉斯算子：使用二阶微分进行图像锐化
一个二维图像函数 f（x，y）的拉普拉斯算子定义为
∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 \nabla ^2f=\frac {\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac {\partial ^2 f}{\partial y^2} ∇2f=∂x2∂2f+∂y2∂2f
在 x 方向上有 ∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) − 2 f ( x , y ) \frac {\partial ^2 f}{\partial x^2} = f(x+1,y) + f(x-1,y) - 2f(x,y) ∂x2∂2f=f(x+1,y)+f(x−1,y)−2f(x,y)
在 y 方向上有 ∂ 2 f ∂ y 2 = f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 2 f ( x , y ) \frac {\partial ^2 f}{\partial y^2} = f(x,y+1) + f(x,y-1) - 2f(x,y) ∂y2∂2f=f(x,y+1)+f(x,y−1)−2f(x,y)
最终：
∇ 2 f ( x , y ) = f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) \nabla ^2f(x,y)=f(x+1,y) + f(x-1,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1) - 4f(x,y) ∇2f(x,y)=f(x+1,y)+f(x−1,y)+f(x,y+1)+f(x,y−1)−4f(x,y)
拉普拉斯算子处理效果：显示图像中灰度的突变，而不强调灰度级缓慢变化的区域。因此产生的图像是暗色背景与浅灰色边线和突变点叠加的结果。
改进：将原图像和拉普拉斯图像叠加在一起，可以复原背景特性并保持拉普拉斯锐化处理的效果。
改进后的拉普拉斯图像增强的基本方法：
g ( x , y ) = f ( x , y ) + c [ ∇ 2 f ( x , y ) ] g(x,y) = f(x,y) + c[\nabla ^2 f(x,y)] g(x,y)=f(x,y)+c[∇2f(x,y)]
f(x,y)和 g（x，y）分别是输入图像和锐化后的图像。c为常数，用于控制系数。
非锐化掩蔽和高提升滤波
（不是很明白用处和优点）
过程：模糊原图像→从原图像中减去模糊图像，得到模板→将模板加到原图像上。
梯度：使用一阶微分进行图像锐化（非线性）
（我数学超差，以后再回顾）
常用算子：罗伯特交叉梯度算子、Sobel算子。
混合空间增强法
如何结合多种图像增强方法，实现图像增强任务？
首先要确定目标。通常用于人类解译，观察者对这幅图像的什么内容感兴趣，就是希望该细节清楚了然。细节可以分为区域和边界。（所以通常会又用到平滑，还用到锐化？）
其次从均值、对比度、噪声三方面去分析要解决的问题。