【D-S证据理论】学习笔记

Dempster-Shafer证据理论学习笔记

引言

证据理论最早由Dempster提出主要用来解决不确定性问题的主要工具，后来被Shafer改进，现在被称为D-S证据理论。D-S证据理论的突出优势就是能够刻画信息的不确定性和未知性，该理论试图用一个概率范围而不是单一的概率值去模拟不确定性。

问题引入

通过一个小例子来学习D-S证据理论。
设有规则：

• 如果一个人流鼻涕那么他患感冒但非过敏性鼻炎的概率为(0.9)，或者患过敏性鼻炎但非感冒的概率为(0.1)。
• 如果一个人眼镜发炎那么他患感冒但非过敏性鼻炎的概率为(0.8)，或者患过敏性鼻炎但非感冒的概率为(0.05)。
  有病例患者事实：
• 小王流鼻涕(0.9)
• 小王发眼炎(0.4)
  问？小王患什么病？
  为有效回答以上问题引入证据理论，证据理论主要涵盖四个概念
• 概率分配函数
• 信任函数
• 似然函数
• 证据组合函数

概率分配函数

假如有一个娃娃机这个娃娃机里只有三个玩偶：“派大星”、“海绵宝宝”、“小猪佩奇”。假设抓起这三个玩偶中的任意一个的概率都是三分之一，这三个玩偶就是样本，三个玩偶构成的空间就是样本空间。概率分配函数和概率不一样的地方就是假设爪子变大了，在证据理论当中样本空间就指的不再是单个样本而是指的样本子集。娃娃机的爪子就可以一次性的抓起任意一个或者两个甚至一次性抓起三个娃娃，而这每次抓起的娃娃就是一个子集。这些样本子集就是：{派大星}，{海绵宝宝}，{小猪佩奇}，{海绵宝宝、派大星}，{海绵宝宝、小猪佩奇}，{派大星，小猪佩奇}，{海绵宝宝、派大星、小猪佩奇}，$\{\varphi \}$。空集也算其中一个子集，若有N个样本就会有$2^N$个样本子集。

概率分配函数的定义就是：





概率分配函数还需要注意第三个地方就是，概率分配函数m是幂集$2^{\Omega }$上的函数而不是样本空间$\Omega$上的概率分布。所以基本概率分配函数不是概率，它们不必相等。即：$m(A)\ne 1-m(\neg A)$。

信任函数

似然函数

证据组合函数

两个不同的概率分配函数指的是有可能两个分配函数的指定来自两个不同的专家、传感检测设备。
注意：

• 如果$k\ne 0$，说明证据组合函数也是一个概率分配函数。
• 如果$k=0$，说明证据组合函数不存在，称$m1$和$m2$矛盾。

之后计算信任函数和似然函数：

根据信任函数和似然函数判断老王得的是感冒而不是鼻炎。
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