图的基本概念

图

1.图的基本概念

1.1定义

图G是由顶点集V和边集E组成，记为G=(V,E),其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集：E(G)表示图G中顶点之间关系(边)集合。若V=(v1,v2,…,vn),则用｜Ｖ｜表示图G中顶点的个数，也称图G的阶，E={(u,v)|u∈V,v∈V}，用|E|表示图G中边的条数。
注意：线性表可以可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空，即V一定是非空集。

1.2无向图、有向图

若E是无向边（简称边）的有限几何时，则图为无向图。便是顶点的无序对，记为(v,w)或（w,v），因为(v,w)=(w,v)，其中v、w是顶点，可以说顶点w和顶点v互为邻接点。边 (v,w)依附于顶点w和v，或者说边(v,w)和顶点互为v、w相关联。
若E是有向边（也称弧）的有限几何时，则图G为有向图。弧是顶点的有序树，记为，其中v、w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。≠

1.3简单图、多重图

简单图：
a.不存在重复边；
b.不存在顶点到自身的边
多重图：
图G中某两个结点之间的边数多余一条，又允许顶点通多同一条边和自己关联，则G为多重图。

1.4顶点的度、入度、出度

对于无向图：顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)。
在具有n个顶点、e条边的无向图中，无向图的所有顶点的度等于边数的2倍。
对于有向图：
入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v);
出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v);
顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v)=ID(v)+OD(v)。

1.5顶点-顶点的关系描述

路径：顶点v1到顶点v2之间的一条路径是指顶点序列。
回路：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环
简单路径：在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径
简单回路：除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路
路径长度：路径上边的数目
点到点的距离：从顶点u出发到顶点v的最短路径若存在，则此路径的长度称为从u到v的距离。若从u到v根本不存在路径，则记该距离为无穷。
无向图中，若从顶点v到顶点w有路径存在，则称v和w是连通的。
有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点wdaodingdianv之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。

1.6连通图、强连通图

若图中任意两个顶点都是连通的额，则称图G为连通图，否则称为非连通图。
常见考点：
对于n个顶点的无向图G，
若G是连通图，则最少有n-1条边
若G是非连通图，则最多可能有(n-1)*(n-2)/2条边。
若图中任何一对顶点都是强连通过的，则称此图为强连通图。
常见考点：
对于n个顶点的有向图G，若G是强连通图，则最少有n条边(形成回路)

1.7子图

1.8连通分量

无向图中的极大连通子图称为连通分量。

1.9强连通分量

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

1.10生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
若图中顶点数为n，则它的生成树中含有n-1条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路。

1.11生成森林

在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

1.12边的权、带权图/网

边的权：在一个图中，每条边都可以标上具有某种哈你的数值，该数值称为该边的权值。
带权图/网：边上带有权值的图称为带权图，也称网。
带权路径长度：当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，成为该路径的带权路径长度。

1.13特殊图

无向完全图：无向图中任意两个顶点之间都存在边。
有向完全图：有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。
边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图。
树：不存在回路，且连通的无向图。
有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树。