跟驰理论 matlab,[经济学]第5章 跟驰理论.ppt

Ch5 跟驰理论,1,第五章 车辆跟驰理论,Ch5 跟驰理论,2,本章主要内容,§1 线性跟驰模型的建立 §2 稳定性分析 §3 稳态流分析 §4 加速度干扰,Ch5 跟驰理论,3,教学目的：掌握线性跟驰模型的建模机理、稳定性分析及其仿真方法、了解非线性跟驰模型的特点、掌握稳态流分析和加速度干扰的基本原理。 重点：跟驰模型的建立、稳定性分析 难点：非线性跟驰模型、稳定性分析、仿真方法,Ch5 跟驰理论,4,跟驰模型是典型的非自由交通流，是理论分析和计算机仿真中最常用的基本模型。 采用跟驰模型的仿真软件： Vissim、Corsim、Paramics、Flowsim等,Ch5 跟驰理论,5,非自由交通流特性： 1. 制约性 紧随要求：后车紧随前车。 车速条件：后车车速与前车车速大致相同，上下摆动。 间距条件：后车距前车要有安全距离。 2. 延迟性(滞后性) 后车因前车状态改变而改变，但其反应要滞后于前车。 3. 传递性 第n辆车的状态制约着第n＋1辆车的运动。,Ch5 跟驰理论,6,方法：动力学方法 建模机理：研究在限制超车的单车道，行驶车队中前车速度的变化引起的后车反应。 研究参数：车辆在给定速度u下跟驰行驶时平均车头间距s，进而估计单车道的通行能力C =1000*u/s。 速度—间距的关系： s=α+βu+γu2 式中：α—车辆长度l； β—反应时间T γ—跟驰车辆最大减速度的二倍之倒数,,§1 线性跟驰模型的建立,Ch5 跟驰理论,7,对于车速恒定(或接近恒定)、车头间距相等的交通流： 式中：αf、αl —分别为跟车和头车的最大减速度,,Ch5 跟驰理论,8,一、线性跟驰模型的建立,单车道车辆跟驰理论认为，车头间距在100~125m以内时车辆间存在相互影响。 跟驰车辆驾驶员的反应过程包括三阶段： (1)感知阶段 (2)决策阶段 (3)控制阶段 反应=λ×刺激 式中：λ— 驾驶员对刺激的反应系数，称为灵敏度或灵敏系数。,Ch5 跟驰理论,9,根据跟驰车队的特性，由下图可得到线性跟驰模型,反应(t +T)=灵敏度x刺激(t) 时滞(time-delay)微分方程!,在延迟T时间后，第n+1号车的加速度,灵敏度系数,在t时刻，第n号车的速度,在t时刻，第n+1号车的速度,Ch5 跟驰理论,10,,跟驰车辆的滞后,Ch5 跟驰理论,11,二、车辆跟驰行驶过程的一般表示,跟驰理论框图 a) 车辆跟驰框图； b) 线性跟驰模型框图,Ch5 跟驰理论,12,VISSIM的跟驰模型是Wiedemann于1974年建立的生理-心理驾驶行为模型。思路：一旦后车驾驶员认为他与前车之间的距离小于其心理(安全)距离时，后车驾驶员开始减速。由于后车驾驶员无法准确判断前车车速，后车车速会在一段时间内低于前车车速，直到前后车间的距离达到另一个心理(安全)距离时，后车驾驶员开始缓慢地加速，由此周而复始，形成一个加速、减速的迭代过程。,Ch5 跟驰理论,13,实例分析，P.87,在Δt时间内，第n号车的平均加速度,Ch5 跟驰理论,14,§2 稳定性分析,线性跟驰模型的两类波动稳定性： (1) 局部稳定性：关注跟驰车辆对它前面车辆运行波动的反应，即关注车辆间配合的局部行为(短期行为)。 (2) 渐进稳定性：关注车队中每一辆车的波动特性在车队中的表现，即车队的整体波动特性(长期行为)，如车队头车的波动在车队中的传播。,Ch5 跟驰理论,15,一、局部稳定性 针对C=λT 取不同的值，跟驰行驶两车的运动情况可以分为以下四类： 1)0≤C≤e-1时，车头间距不发生波动； 2) e-1π/2，车头间距发生波动，振幅增大。 利用计算机模拟的方法给出了相关运动参数的变化曲线(其中反应时间T=1.5s，C=e-1≈0.368)。 模拟过程中假定头车采取恒定的加速度和减速度。,Ch5 跟驰理论,16,,Ch5 跟驰理论,17,如果跟驰车辆的初始速度和最终速度分别为u1和u2，则 式中： —分别为头车和跟驰车辆的速度； ⊿s—车头间距变化量 因为,,,,,Ch5 跟驰理论,18,如果头车停车，则最终速度u2＝0，车头间距的总变化量为-u1/λ，因此跟驰车辆为了不发生碰撞，车间距离最小值必须为u1/λ ，相应的车头间距为u1/λ+l (l为车辆长度)。 为了使车头间距尽可能小，λ应取尽可能大的值，其理想值为(eT)-1。,,,,,Ch5 跟驰理论,19,二、渐进稳定性 描述一列长度为N的车队的方程为(假设车队中各驾驶员反应强度系数λ值相同)： 无论车头间距为何初始值，如果发生增幅波动，那么在车队后部的某一位置必定发生碰撞，上式的数值解可以确定碰撞发生的位置。 据研究，一列行驶的车队仅当C=λT0.5时才是渐进稳定的，即车队中车辆波动的振幅呈衰减趋势。,,Ch5 跟驰理论,20,关于稳定性的结论： (1)局部稳定性：关注车辆间配合的局部行为(短期行为)。渐进稳定性：关注车队中每一辆车的长期行为。 (2)局部稳定的跟驰系统一定是渐进稳定的；渐进不稳定的系统，一定是局部不稳定的。 C≤e-1时，车头间距局部稳定； C≤0.5时，车头间距渐进稳定；,Ch5 跟驰理论,21,三、计算机仿真(基于Matlab平台的稳定性分析) 1.Matlab软件简介 Matlab(矩阵实验室，Matrix Laboratory)采用C语言编写。现已成为科技计算、视图交互系统和程序语言，可以在各个操作平台上运行。 Matlab由主程序和各种工具包组成，其中主程序包含数百个内部核心函数，包括复杂系统仿真、微分方程、模糊逻辑、神经网络、遗传算法、控制系统、优化、符号数学、系统识别、图像处理、统计等工具箱。,Ch5 跟驰理论,22,Matlab是进行各类数值计算的最有力的工具，它以矩阵作为基本数据单位，是应用线性代数、数理统计、自动控制、微分动力系统、动态系统仿真方面的首选工具，同时也是科研工作人员和大学生、研究生进行科学研究的得力工具。,Ch5 跟驰理论,23,常微分方程初值问题的数值解法 龙格－库塔(Runge-Kutta)方法：1905(德国),若f不依赖y,则为simpson公式,步长 h~Re(λmax),Ch5 跟驰理论,24,龙格－库塔法的实现 基于龙格－库塔法，MATLAB提供了求非刚性常微分方程数值解的函数，一般调用格式为： [t,y]=ode23('fname',tspan,y0) [t,y]=ode45('fname',tspan,y0) 其中：fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为[t0,tf],表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。 刚性常微分方程数值解的函数，一般调用格式为：ode15s及ode23s,Ch5 跟驰理论,25,【例1】求微分方程的数值解，并与精确解相比较。 初始条件：x(0)=1 精确解(解析解)：,Ch5 跟驰理论,26,【例1】求微分方程的数值解，并与精确解相比较。 初始条件：x(0)=1 (1) 建立函数文件fun_1.m。 function xp=fun_1(t,x) xp=-2*x; (2) 求解微分方程。 clear t0=0; tf=5; y0=1; [t,y]=ode45('fun_1',[t0,tf],y0); %求数值解 y1=exp(-2*t); %求精确解(解析解) delta_y=y- y1 %y为数值解，y1为精确值，两者近似 plot(t,y,':',t,y1, t, delta_y),Ch5 跟驰理论,27,【例2】试求初值问题的数值解，并与精确解相比较。 (1) 建立函数文件funt.m。 function yp=funt(t,y) yp=(y^2-t-2)/4/(t+1); (2) 求解微分方程。 clear t0=0; tf=10; y0=2; [t,y]=ode45('funt',[t0,tf],y0); %求数值解 y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解 delta_y=y- y1 %y为数值解，y1为精确值，两者近似 plot(t,y,':',t,y1, t, delta_y,'r'),Ch5 跟驰理论,28,时滞微分方程求解工具：dde23 Matlab仿真程序：car_following_1.m 模拟4辆车的情形：,Ch5 跟驰理论,29,2.n辆车组成的车队,,Ch5 跟驰理论,30,2. n辆车组成的车队 n=3,,,Ch5 跟驰理论,31,为方便起见，定义：,,Ch5 跟驰理论,32,计算机仿真(基于Matlab平台)：4辆车组成的车队 车头间距：x1-x2 = y1-y3 x2-x3 = y3-y5 Matlab仿真程序：car_following_1.m 4 种情况： (1)0 ≤C≤1/e；车头间距不摆动，局部稳定； (2)1/e ≤C≤π/2；车头间距衰减摆动(局部不稳定) ； (3)C =π/2；车头间距非衰减摆动； (4)C ＞π/2；车头间距摆动中增大幅度(轨迹不稳定)。,Ch5 跟驰理论,33,计算机仿真(基于Matlab平台)：8辆车组成的车队 渐近稳定性,Ch5 跟驰理论,34,C=0.80.5时， 车头间距渐进失稳 约24s时，第7、8 辆车碰撞,,,Ch5 跟驰理论,35,四、次最近车辆的配合 跟驰模型： 式中：λ1、λ2—分别为跟驰车辆驾驶员对最近车辆和次最近车辆刺激的反应强度系数。 一般情况，次最近车辆的影响很小，可忽略。,,Ch5 跟驰理论,36,§3 稳态流分析,满足局部稳定性和渐进稳定性要求，即不发生等幅和增幅波动的交通流为稳态流。 跟驰 模型,,线性跟驰模型 非线性跟驰模型,格林伯(Greenberg)模型 安德伍德(Underwood)模型,,,跟驰模型(微观),宏观交通流方程,积分,Ch5 跟驰理论,37,§3 稳态流分析,,,跟驰模型(微观),宏观交通流方程,积分,两个 条件,边界条件 最优条件：饱和状态时，u=um, k=km, q=qmax,自由流： u=uf, k=0, q=0 阻塞流：u=0, k=kj, q=0,,Ch5 跟驰理论,38,§3 稳态流分析,一、线性跟驰模型分析 运动过程中车队从一种稳定状态进入另一种随机稳定状态 假定在t =0时每一辆车的速度为u1，车头间距为s1。头车在t =0时速度开始改变(加减速)，在一段时间t后其最终速度变为u2。,Ch5 跟驰理论,39,取C=λT=0.47，车头间距的变化： 得到速度—密度关系式： 对于停车流，u2=0，相应的车头间距s0由车辆长度和车辆间的相对距离构成，通常称为车辆的有效长度(或称停车安全距离)，用L表示。对应于s0的密度kj被称做阻塞密度。,流量-密度线性模型,Ch5 跟驰理论,40,将此公式与单车道交通试验观测结果对比，如图，可得：λ的估计值为0.6s-1。根据渐进稳定性标准： C ≤ 0.5，可以得出T 的上限约束为0.83s。,速度—密度关系式 (最小二乘数据拟合),Ch5 跟驰理论,41,标准化(归一化)流量：实际流量与最佳流量(最大流量)之比，标准化(归一化)密度：实际密度与最大密度(阻塞密度)之比。,流量-密度线性模型不能合理地描述流量q和密度k这两个基本参数的变化特征，图5-10无法解释流量和密度所要求的定性关系； 因此，需要对线性跟驰模型进行修改。,图5-10 标准流量与标准密度关系,Ch5 跟驰理论,42,二、非线性跟驰模型分析 对于给定的相对速度，驾驶员的反应强度应该随车间距离的减小而增大。 1. 车头间距倒数模型 这一模型认为反应强度系数λ与车头间距成反比。 λ1假定为常量,Ch5 跟驰理论,43,假定这些参数来自稳态流， 积分得速度与密度的关系：,对于停车流，u2=0，,Ch5 跟驰理论,44,流量—密度的关系，即 Greenberg模型 由最优条件： u=um, k=km, q=qmax，此时， 因此，,,流量—密度的关系,标准流量与标准密度关系,Ch5 跟驰理论,45,格林伯(Greenberg)速度-密度模型 适用于较大密度的模型,,1441veh/h(通行能力),,kj =228veh/mile≈142veh/km λ=um=17.2mile/h≈27.7km/h,图3-7，P.44,k=0处的切线斜率(速度)→∞， 需要修正,Ch5 跟驰理论,46,2. 正比于速度的间距倒数模型 对反应强度系数进行修改 λ2为常量，跟驰模型： 利用车头间距和密度的倒数关系对此式积分，如果最大流量时的速度(最佳速度)取为e-1uf，则系数λ2为 km-1，,,,,Ch5 跟驰理论,47,【作业】跟驰模型： λ2为常量。如果最大流量时的速度(最佳速度)取为e-1uf，则系数λ2为 km-1。利用车头间距和密度的倒数关系对此式积分，证明：稳态方程为： 即Underwood模型。uf是自由流速度，即密度趋于零时的速度，km是最大流量时的密度(最佳密度)。,,,Ch5 跟驰理论,48,由于交通流速度在低密度下与车辆密度大小无关，因此，速度-密度关系为： 其中kf是车辆间刚要产生影响时的密度，超过此值交通流速度将随着密度的增加而减少。 若刚要产生影响时的间距为120m， 则 kf =8.3veh/km,Ch5 跟驰理论,49,3. 格林希尔治模型 式中：uf —自由流车速；kj —阻塞密度 L—阻塞密度时的车头间距 对第(n+1)辆车引入反应时间后: 反应强度系数：,,,,,,Ch5 跟驰理论,50,4. 模型的统一表示 其中的反应强度系数λ取以下几种形式： (1) 常数，λ=λ0 (2) 反比于车头间距，λ=λ1/s； (3) 正比于车速、反比于车头间距的平方，λ=λ2u/s2 (4) 反比于车头间距的平方，λ=ufL/s2 ； 反应强度系数一般形式： al,m是常数，l、m为指数，且都≥0,Ch5 跟驰理论,51,GM(General Motors)模型,m和l取不同值，对应于不同的模型,Ch5 跟驰理论,52,,,Ch5 跟驰理论,53,三、交通流基本参数关系式的一般表示,,Ch5 跟驰理论,54,积分常数依赖于具体的m和l值， 两个边界条件：① s→∞ 时， u→uf ② s=L时，u=0 1. 当m=1；l=1 lnu2―lnu1=a1,1(lns2―lns1) 两边界条件均不满足，积分常数只能利用具体实验数据拟合求得,,,,Ch5 跟驰理论,55,两个边界条件：① s→∞ 时， u→uf ② s=L时，u=0 2. 当m≠1；l ≠ 1 (1)当m≠1；l ＞1，两个边界条件均满足 讨论： l=3, m=0时 (2)当m≠1；l ＜1，仅满足第二个边界条件均满足,,Ch5 跟驰理论,56,交通流基本参数关系式的一般表示 式中：a, b —积分常数 u —交通流的稳态速度 s —稳态车头时距 fp(x)可由下式确定(p=l或m) 积分常数依赖于具体的m和l值，而且与两个边界条件的满足情况有关：,,,,Ch5 跟驰理论,57,(1) l 1, 0≤m1,m≥1的情况，仅满足第一个边界条件 b=fm (uf) 积分常数a的值可以通过具体实验数据拟和求得。 (3) l≤1,0≤m1时，仅满足第二个边界条件 b=-a fl (L) a、b值可利用具体实验数据拟和求得 (4) l≤1, m≥1时，两边界条件均不满足 a、b值只能利用具体实验数据拟和求得,,,,Ch5 跟驰理论,58,图中，只要选择适当模型参数，基本上可以用来拟合图5-9的数据。跟驰模型的一般形式中λ和m不一定必须取整数值，也可以取非整数值。,Ch5 跟驰理论,59,,讨论： l=3, m=0时，交通流基本参数关系式的一般表示。两个边界条件均满足。,采用② s=L时，u=0，则,用于交通流突变理论的研究,Ch5 跟驰理论,60,四、跟驰理论的不足以及相应的新研究方向 先前的讨论中，都假定驾驶员对于某一刺激采取相同的比率加速和减速，即加速度的绝对值相等。实际上，大多数车辆的减速性能要比加速性能强，而且在交通比较拥挤时，跟驰车辆的驾驶员对前车减速的反应强度要比加速的反应强度大一些。 因此，对应于前面车辆的加速或减速刺激，即相对速度是正还是负或者车头间距是增大还是减小，跟驰车辆的反应具有不对称性。,Ch5 跟驰理论,61,将跟驰理论的基础模型进行改写： 其中，λi= λ+或λ-，取决于相对速度是正还是负或者车头间距是增大还是减小。 此外，流量—密度曲线在接近最大流的地方有明显的间断，流量突然下降。这说明流量—密度曲线的不连续性。,,,Ch5 跟驰理论,62,§4 加速度干扰,交通量小时，车辆速度在一定速度范围内变化或摆动；交通量较大时虽然跟驰现象十分明显，但是由于受交通控制信号的影响，车辆速度会出现摆动。 加速度干扰就是对车辆速度摆动的描述，车速摆动还涉及到乘车舒适性的问题，加速度干扰可以作为一个定量评价指标。,Ch5 跟驰理论,63,一、加速度干扰的计算 车辆速度摆动的大小可用加速度对平均加速度的标准差(方均根误差)σ来表示。 称σ为加速度干扰，单位与加速度的单位一致。 式中：T —观测总时间； a(t) —t时刻加速度 —平均加速度,,,,,,Ch5 跟驰理论,64,假定平均加速度为0，则 如果加速度的观测以连续的时间间隔Δt来取样 如果平均加速度为0，则,,,,,,Ch5 跟驰理论,65,加速度干扰计算的实用公式： 式中：ai—第i个观测时间段的加速度(认为各小时间段内加速度值相等) Δti—第i个观测时间段长 将公式进行变换 式中Δui为第i观测时间段的速度,,,Ch5 跟驰理论,66,因为,,,,,Ch5 跟驰理论,67,式中：uT—观测总时段的末速度 u0—观测总时段的初速度 Δu—速度的等分间距，Δui= niΔu 此式适用于坐标纸对速度和加速度观测值进行绘图计算。,,,,Ch5 跟驰理论,68,例：一辆试验车在某公路上行驶，记录仪记录的某时段速度如下表，试计算加速度干扰。,解：,a1=(56-60)/10/3.6=-0.11(m/s2) a2=(51-56)/10/3.6=-0.14(m/s2) a3=(47-51)/10/3.6=-0.11(m/s2) a4=(52-47)/10/3.6=0.14(m/s2) a5=(57-52)/10/3.6=0.14(m/s2) a6=(60-57)/10/3.6=0.08(m/s2),Ch5 跟驰理论,69,二、加速度干扰的影响因素 加速度干扰主要受三个因素的影响：驾驶员、道路和交通状况。 加速度干扰有以下变化趋势： 通过丘陵地区的两条道路，一条狭窄的双车道道路比另一条双向四车道的道路σ值要大很多； 对于丘陵地区的同一条道路，下坡路段的σ值比上坡路段大； 对于两个驾驶员以低于公路设计车速的不同速度行驶时，σ值大致一样；,Ch5 跟驰理论,70,驾驶员超过设计车速驾驶，σ值会很大，而且速度越快的驾驶员，σ值越大； 交通量增大，σ值增大； 由于停车、公共汽车靠站、横向交通、过街行人等产生的交通拥挤程度增大，σ值增加； 与行驶时间和停车时间相比，σ值相对而言是交通拥挤更好的度量指标； σ的高值出现表明有潜在的危险情况。 一般认为σ1.5为高值，σ0.7为低值。 σ值可作为乘车舒适性的定量评价指标。,Ch5 跟驰理论,71,练习： 1.跟驰模型中为什么需要采用时滞微分方程？ 2.跟驰模型中的反应系数(或灵敏系数)与哪些因素有关？ 3.如何理解局部稳定性和渐进稳定性？ 4. 简述加速度干扰σ值受哪些因素的影响？,

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