水塘抽样算法（Reservoir Sampling Algorithm)

应用场景

主要用于解决大数据流中的随机抽样问题，即：当内存有限，数据长度很大，甚至未知，那么如何从中随机选取k个数据，并且要求是等概率。

算法步骤

水塘抽样的步骤是，只遍历一次，每次都考虑一个问题：当前元素是否被选中，选中后替换之前选中的哪一个元素。

采样过程：
step1：首先将前k个元素全部选取。
step2：对于第i个元素(i>k)，以概率k/i来决定是否保留该元素，如果保留该元素的话，则随机丢弃掉原有的k个元素中的一个(即原来某个元素被丢掉的概率是1/k)。

算法原理

假设我们要遍历的数据规模为$n$。

（1）首先，我们来考虑前$k$个元素：

 遍历前$k$个元素时，我们以$p=1$的概率将该元素（或者与该元素相关联的信息，例如索引）加入result。当遍历到$k+1$个元素时，第$k+1$个元素被保留的概率是$k/(k+1)$，对于此时result中的元素，它们任何一个被剔除的概率是$1/k$，所以，对于前$k$个元素，它们在这一次遍历中被剔除的概率为
$$\frac{k}{k+1}\times \frac{1}{k}$$

相对应的，对于前$k$个元素中的任一个，它们在第$k+1$次遍历中被保留的概率为
$$1-\frac{k}{k+1}\times \frac{1}{k}$$

所以，当遍历到第$n$个元素时，前$k$个元素中的任一个被保留的概率为
$$1\times (1-\frac{k}{k+1}\times \frac{1}{k})\times (1-\frac{k}{k+2}\times \frac{1}{k})\times \cdots \times (1-\frac{k}{n-1}\times \frac{1}{k})\times (1-\frac{k}{n}\times \frac{1}{k})=\frac{k}{n}$$

（2）其次，我们来考虑前$k$个元素之后的所有元素：

 对于第i个元素(i>k)，以概率k/i来决定是否保留该元素。并且在之后的每一次遍历中，该元素被剔除的概率都为
$$\frac{k}{i+m}\times \frac{1}{k}$$
 $m$表示该次遍历为第i个元素之后的第$m$次遍历

所以，第i个元素(i>k)最终被保留的概率为
$$\frac{k}{i}\times (1-\frac{k}{i+1}\times \frac{1}{k})\times (1-\frac{k}{i+2}\times \frac{1}{k})\times \cdots \times (1-\frac{k}{n-1}\times \frac{1}{k})\times (1-\frac{k}{n}\times \frac{1}{k})=\frac{k}{n}$$

 这种随机采样方法不需要事先知道问题的规模大小，当遍历到第m(m>k)个元素时，前m个元素中的任一个被保留的概率均为$k/m$，当遍历到第n(n>k)个元素时，前n个元素中的任一个被保留的概率均为$k/n$。

 一般的随机抽样方法需要事先知道数据规模，再用随机数从n个元素中随机抽样k个。但当数据规模特别大且难以用现有的存储空间保存它时，我们无法事先知道数据规模，这时水塘抽样算法就很适合解决这种问题。

代码实现

// 从长度为n的nums数组中随机选取k个数（水塘抽样）
    public int[] Reservoir(int[] nums,int k){
        int[] res=new int[k];
        Random random=new Random();
        for(int i=0;i<nums.length;i++){
            //前k个数直接加入res
            if(i<k) res[i]=i;
            //对于第i个数，以k/i的概率让它留下来
            else if(random.nextInt(i+1)<k)
                //从现有res中随机选一个数踢出去，用留下来的数替换它
                res[random.nextInt(k)]=i;
        }
        return res;
    }