[矩阵论] Unit 2. Jordan 标准形介绍 - 知识点整理

• 注: 以下内容均由个人整理, 不保证完全准确, 如有纰漏, 欢迎交流讨论
• 参考: 杨明, 刘先忠. 矩阵论(第二版)[M]. 武汉: 华中科技大学出版社, 2005

2 Jordan 标准形介绍

2.1 线性变换的对角矩阵表示

线性变换的特征值 特征向量

$T$ 是 $V_n(F)$ 上的线性变换, $T$ 在某组基 $\{{\xi }_1,{\xi }_2,...{\xi }_n\}$ 下变换矩阵为对角矩阵 $\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$ ⟺ $T({\xi }_i)={\lambda }_i{\xi }_i,i=1,2,...,n$

Def’ 2.1: $T$ 是 $V_n(F)$ 上的线性变换, 若 $\exists \xi \in V_n(F),\lambda \in F,\xi \ne 0:T(\xi )=\lambda \xi$:

• 数 $\lambda$ 是 $T$ 特征值 (对应变换矩阵 $A$ 的特征值)
• 向量 $\xi$ 是 $T$ 对应 $\lambda$ 的特征向量 (向量坐标对应变换矩阵 $A$ 的特征向量)

相似矩阵有相同特征值, 与基的选择无关; 但特征向量一般不同.

特征向量求法

(相当于求矩阵特征向量)

1. 选择基(一般选自然基), 并写出变换 $T$ 在基下对应的变换矩阵 $A$
2. 求矩阵 $A$ 的特征值: 即求特征多项式 $f(\lambda )=|\lambda I-A|\text{∣λI−A∣}|\lambda I-A|=0$ 的解 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$ 为全部特征值.
3. 求矩阵 $A$ 关于 ${\lambda }_i$ 的特征向量: 求方程 $({\lambda }_{i}I-A)X=0$ 或 $(A-{\lambda }_{i}I)X=0$ 的非零解 $X$ (需要将算出的 ${\lambda }_i$ 的值带入). 它是 $T$ 的特征值对应的特征向量的坐标.

特征子空间

Def’ 2.2: 特征子空间 $V_{\lambda }=L\{{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_t\}=\{\xi |T(\xi )=\lambda \xi \}=N(T-\lambda I)$, 即 ${\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_t$ 是变换 $T$ 对应特征值 $\lambda$ 的极大线性无关组(变换的 $t$ 个特征向量).

Th 2.2: 特征子空间性质:
$V_n(F)$ 上线性变换 $T$ 的 $s$ 个互异特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$, $V_{{\lambda }_i}=L\{{\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_t\}$ 是 ${\lambda }_i$ 的特征子空间, $i=1,2,...,s$, 则:

• $V_{{\lambda }_i}$ 是 $T$ 的不变子空间(原像和像都在该空间)
• ${\lambda }_i\ne {\lambda }_j$, 则 $V_{{\lambda }_i}\cap V_{{\lambda }_j}=\{0\}$
• 若 ${\lambda }_i$ 是 $T$ 的 $k$ 重特征值(1 个特征值至少 1 个特征向量), 则 $dim{V}_{{\lambda }_i}\le k$ ($dim{V}_{{\lambda }_i}$ 为特征向量的个数, 即几何重数; $k$ 为代数重数; 几何重数$\le$代数重数)

推论:

• 单特征值 ${\lambda }_i$, $dim{V}_{{\lambda }_i}=1$
• $V_{{\lambda }_1}+V_{{\lambda }_2}+...+V_{{\lambda }_s}=V_{{\lambda }_1}\oplus V_{{\lambda }_2}\oplus ...V_{{\lambda }_s}\subseteq V_n(F)$

线性变换矩阵对角化

$V_n(F)$ 上线性变换 $T$ 可对角化 ⟺ $T$ 的变换矩阵 $A$ 可对角化
⟺ $T$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量
⟺ $\sum dim{V}_{{\lambda }_i}=n$
⟺ $dim{V}_{{\lambda }_i}=k_i,i=1,...,s$ (即每个特征子空间的几何重数等于代数重数), 其中 $f(\lambda )=|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{k_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{k_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{k_s},{\sum }_{i=1}^s{k}_i=n$ (代数重数的和总为 $n$, 但几何重数的和$\le n$)
⟺ $V_{{\lambda }_1}\oplus V_{{\lambda }_2}\oplus ...V_{{\lambda }_s}=V_n(F)$

重要等式:
$dim{V}_{{\lambda }_i}=n-rank(\lambda I-A)$
特征子空间 $V_{{\lambda }_i}$ 的维数相当于整个空间 $V_n(F)$ 的维数减去"求子空间的方程 $\lambda I-A$ 的秩".
一种理解: 以 $(\lambda I-A)x=0$ 解方程的角度理解

• $dim{V}_{{\lambda }_i}$: 即 $V_{{\lambda }_i}$ 基的个数, 相当于自由未知数的个数
• $n$: 即未知数的总数
• $rank(\lambda I-A)$: 即未知数的方程个数.

2.2 Jordan 矩阵介绍

Jordan 块和 Jordan 矩阵

Jordan 块:
$$J(\lambda )=\left[\begin{array}{cccc}\lambda & 1& & \\ & \lambda & 1& \\ & & \ddots & 1\\ & & & \lambda \end{array}\right]$$
注: 对角线 $\lambda$ 都相同, 上面一列全为 1.

Jordan 矩阵: 有 Jordan 块组成
$$J=\left[\begin{array}{cccc}J({\lambda }_1)& & & \\ & J({\lambda }_2)& & \\ & & \ddots & \\ & & & J({\lambda }_m)\end{array}\right]$$

Jordan 标准形

Th 2.5: 在复数域 $C$ 上, 每个方阵 $A$ 都相似于一个 Jordan 阵 $J_A$.
含义:

• Jordan 矩阵可以作为相似标准形
• 惟一性: Jordan 子块的集合唯一(子块的顺序无关紧要)
• $A$ 相似于 $B$ ⟺ $J_A$ 相似于 $J_B$

Jordan 标准形求法★

目标: 求可逆矩阵 $P$ 和 Jordan 矩阵 $J_A$, 使 $AP=P{J}_A$

求法与步骤:

1. 求 $A$ 的特征值
   $$f(\lambda )=|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{k_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{k_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{k_s}$$
   注: 检查特征值是否正确: $\sum {\lambda }_i=trace(A)$
   有 $s$ 个特征值, 则 $J_A$ 有 $s$ 个 Jordan 子矩阵 $J_i({\lambda }_i)$, 每一个子矩阵:
   • 特征值均为 ${\lambda }_i$.
   • 阶数(即占 $J_A$ 的行数)为对应代数重数 $k_i$.
   • 会包含几何重数 $t_i$ 个 Jordan 块.
2. 分别求 $s$ 个特征值对应的特征向量 $\alpha$
   $$(A-{\lambda }_{i}I)X=0$$
   有 $t_i$ 个特征向量(即特征子空间维度 $dim{V}_{{\lambda }_i}$, 即特征值的几何重数), 则子矩阵 $J_i({\lambda }_i)$ 有 $t_i$ 个 Jordan 块.
3. 分别求每个 Jordan 子矩阵 $J_i({\lambda }_i)$ 的每个 Jordan 链条
   判断特征值 ${\lambda }_i$ 的代数重数 $k_i$ 与几何重数(即特征向量个数) $t_i$ 的大小关系:
   • 若 $t_i=k_i\text{ti=ki}{t}_i=k_i$, 则: $J_i({\lambda }_i)$ 有 $t_i$ 个 1 阶 Jordan 块, 即为对角矩阵(对角线元素为 ${\lambda }_i$).
   • 若 $t_i<k_i\text{ti<ki}{t}_i<k_i$:
     首先依次将每个特征向量作为 $\alpha$ 代入尝试 $(A-{\lambda }_{i}I)y_2=\alpha$, 判断方程是否相容(是否有解). 若有解则选定该特征向量求解 $y_2$. 然后将解 $y_2$ 代入 $(A-{\lambda }_{i}I)y_i=y_{i-1}$ 继续求解 $y_3$, 直至方程不相容(无解), 根据广义特征向量的个数从而确定对应的 Jordan 块的阶数.
     若每个特征向量代入 $(A-{\lambda }_{i}I)y_2=\alpha$ 均无解, 则应构造 $t_i$ 个特征向量的线性组合 $\alpha =c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+...+c_{t_i}{\alpha }_{t_i},\alpha \ne 0$, 通过求解常量 $c_j$ 得到对应的 $\alpha$. 并选择该构造的特征向量 $\alpha$ 求解 $y_2,y_3$ 等, 直至方程 $(A-{\lambda }_{i}I)y_i=y_{i-1}$ 无解.
     $$\{\begin{array}{ll}(A-{\lambda }_{i}I)\alpha & =0\\ (A-{\lambda }_{i}I)y_2& =\alpha \\ (A-{\lambda }_{i}I)y_3& =y_2\\ \cdots & \cdots \\ (A-{\lambda }_{i}I)y_{k_i-t_i+1}& =y_{k_i-t_i}\end{array}$$
4. 根据 Jordan 链条写出可逆矩阵 $P$ 和 Jordan 矩阵 $J_A$.
   $P$ 分为 s 个列块 $P=(P_1,...,P_s)$, 对应每个特征值相同的 Jordan 子矩阵 $J_i({\lambda }_i)$
   每个 $P_i$ 由选择的特征向量和广义特征向量构成.
   • 若 $t_i=k_i$:
     $P_i$ 的列由特征值 ${\lambda }_i$ 对应的 $t_i$ 个特征向量构成.
     $J_i({\lambda }_i)$ 是对角元素为 ${\lambda }_i$ 的 $k_i$ 阶对角矩阵.
     $$P_i=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_{t_i}),J_i({\lambda }_i)={\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& & & \\ & {\lambda }_i& & \\ & & \ddots & \\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right]}_{t_i\times t_i}$$
   • 若 $t_i<k_i$:
     $P_i$ 的列由特征值 ${\lambda }_i$ 对应的 $t_i$ 个 Jordan 块 $J_{ij}$ 的特征向量和广义特征向量构成. 每个 Jordan 块 $J_{ij}$ 包括 1 个特征向量(可能是求解的特征向量, 也可能是构造的特征向量 $\alpha ={\sum }_{j=1}^{t_i}{c}_j{\alpha }_j$)和基于该特征向量求解的多个广义特征向量 $y_2,...$ 构成.
     $J_i$ 由 $t_i$ 个对角元素是 ${\lambda }_i$ 的 Jordan 块(块的阶数由方程相容性计算得到的 Jordan 链条数确定)构成(要与 $P$ 每一列的特征向量一一对应).
     $$\begin{array}{rl}& P_{ij}=(\alpha ,y_2,...,y_{n_j}),\sum _{j=0}^t{n}_{ij}=k_i\\ & P_i=(P_{i1},P_{i2},...,P_{ij},...,P_{i{t}_i})\\ & P=(P_1,...,P_i,...,P_s)\\ & \\ & J_{ij}({\lambda }_i)={\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_i& 1& & \\ & {\lambda }_i& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_i\end{array}\right]}_{n_i\times n_i}\\ & J_i({\lambda }_i)=diag(J_{i1},...,J_{ij},...,J_{i{t}_i})\\ & J_A=diag(J_1({\lambda }_1),...,J_i({\lambda }_i),...,J_s({\lambda }_s))\end{array}$$

2.3 最小多项式

矩阵多项式

Def’ 2.4: 设 $A\in F^{n\times n},a_i\in F,g(\lambda )=a_m{\lambda }^m+\cdots +a_1\lambda +a_0$ 是一个多项式, 则矩阵 $g(A)=a_m{A}^m+\cdots +a_{1}A+a_0$ 为方阵 A 的矩阵多项式.
Th 2.6 性质:

• $AX={\lambda }_{0}X$ ⇒ $g(A)X=g({\lambda }_0)X$ (特征值不同但特征向量相同)
• $P^{-1}AP=B$ ⇒ $P^{-1}g(A)P=g(B)$
• $A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_k\end{array}\right]$ 为准对角矩阵 ⇒ $g(A)=\left[\begin{array}{cccc}g(A_1)& & & \\ & g(A_2)& & \\ & & \ddots & \\ & & & g(A_k)\end{array}\right]$ 也为准对角矩阵.

矩阵多项式的求法

目标: 求矩阵 $A$ 的矩阵多项式 $g(A)$
步骤:

1. 计算矩阵 $A$ 的 $J_A$ 和 $P$ 以及 $P^{-1}$
   $$g(A)=P\cdot g(J_A)\cdot P^{-1}=P\cdot diag(g(J_1),g(J_2),...,g(J_k))\cdot P^{-1}$$
   其中 $J_i$ 为每个 Jordan 块
2. 对于每个 Jordan 块 $J_i(\lambda )$
   
   $$g(J_i)=\left[\begin{array}{ccccc}g(\lambda )& g^{\prime }(\lambda )& \frac{g^{\prime \prime }(\lambda )}{2!}& \cdots & \frac{g^{r-1}(\lambda )}{(r-1)!}\\ & g(\lambda )& g^{\prime }(\lambda )& \ddots & ⋮\\ & & g(\lambda )& \ddots & \frac{g^{\prime \prime }(\lambda )}{2!}\\ & & & \ddots & g^{\prime }(\lambda )\\ & & & & g(\lambda )\end{array}\right]$$
   (即每上一层斜对角, 对 $g(\lambda )$ 做一次求导并除以导数次数的阶乘)
   
   最终由 $g(J_i)$ 组成矩阵 $g(J_A)$
3. 由 $g(A)=P\cdot g(J_A)\cdot P^{-1}$ 计算得到 $g(A)$

化零多项式

让矩阵多项式为零矩阵 $g(A)=0\text{0}0$
若 $A$ 有化零多项式, 则有无穷多化零多项式.

Def’ 2.7(Cayley 定理) 特征多项式是化零多项式. $f(\lambda )=|\lambda I-A|$, $f(A)=0\text{0}0$
应用:

• 使 $A^k(\forall k\ge n)$ 降阶至不超过 $n-1$ 次的多项式(除法余项) $r(\lambda )$: $g(\lambda )=q(\lambda )f(\lambda )+r(\lambda )$
• 由 $f(A)=0$, $A^{-1}$ 可以用多项式表示: $A^{-1}=-\frac{1}{a_0}(A^{n-1}+a_{n-1}{A}^{n-2}+\cdots +a_{2}A+a_1),a_0\ne 0$
• 对线性变换 $T$, $f(T)=0$(此时 $f$ 为特征多项式)，即 $f(T)$ 为零变换

最小多项式

Def’ 2.5 最小多项式 $m_A(\lambda )$: $V_n(F)$ 上线性变换 $T$ 的变换矩阵为 $A$, $m_A(\lambda )$ 满足:

• $m_A(A)=0$
• $m_A(\lambda )$ 在化零多项式中次数最低
• $m_A(\lambda )$ 最高次项系数是 1

$m_A(\lambda )$ 整除任何化零多项式

最小多项式的结构
设 $f(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{k_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{k_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{k_s}$, 则特征多项式:
$$m_A(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{\overline{n_1}}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{\overline{n_2}}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{\overline{n_s}}$$
其中, $\overline{n_i}$ 是 ${\lambda }_i$ 对应 Jordan 块的指数(最高阶数)
(${\lambda }_i$ 对应 Jordan 块有多个, $\overline{n_i}$ 是其中最大的那个的阶数)

Th 2.10: 线性变换 $T$ 可以对角化 ⟺ $T$ 的最小多项式是一次因子的乘积 $m_A(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)\cdots (\lambda -{\lambda }_s)$

矩阵相似问题的一些结果

相似矩阵

相似矩阵具有相同的:

• 特征值和特征多项式
• 化零多项式和最小多项式
• 行列式 $det(A)$、迹 $trace(A)={\sum }_i^n{a}_{ii}=\sum {\lambda }_i$ 和秩 $rank(A)$

幂等矩阵 幂零矩阵 乘法矩阵

• 幂等矩阵: $A^2=A$ ⟺ $A\sim \left[\begin{array}{cc}{I}_r& \\ & 0\end{array}\right]$
• 幂零矩阵 $A^k=0$ ⟺ 特征值均为 0
• 乘方矩阵: $A^2=I$ ⟺ $A\sim \left[\begin{array}{cc}I& \\ & -I\end{array}\right]$

$A,A^T,A^H,A^{H}A$

• $A\sim A^T$
• $A\sim A^H$ ⟺ 矩阵的非实数特征值对应的 Jordan 块以共轭对出现 (eg: $\left[\begin{array}{cc}i& \\ & -i\end{array}\right]$)
• $A^{H}A\sim A{A}^H$: 特征多项式、值相同, 且可对角化

$AB,BA$

• 特征值, 特征多项式相同(但不一定相似)
• 若 $A$ 或 $B$ 可逆, 则 $AB\sim BA$
• 行列式 $det(A)$、迹 $trace(A)={\sum }_i^n{a}_{ii}=\sum {\lambda }_i$ 相同
  秩不一定相同