深入解析投影矩阵的数学方法

• 齐次空间
  要理解3d的齐次空间，我们先理解2d的齐次空间。
  2d的齐次空间可以理解为三维空间上的向量在(x, y, 1)平面上的投影. 投影结果是(x/z, y/z, 1)
  
• 齐次矩阵
  
  
  • 齐次矩阵能够对向量做仿射变换，也就是能够将平移加入到矩阵中，这是3*3矩阵做不到的。
  • 而4*3矩阵虽然也能做仿射变换，但是不能求逆矩阵，因为不是方阵。

-齐次矩阵的透视投影
空间坐标与其投影到投影平面上的坐标的关系：


我们构造齐次矩阵来实现这样的计算

• 平截头体
  

这样构造矩阵，得到齐次向量，然后用x,y,z分量除以w分量就得到真实的(x,y,z).
真正的投影也是在这一步发生的。这个在shader里面做。

• 计算缩放系数
  fov为90°的时候，就相当于透视投影的比例为1:1.当fov变动的时候，投影的比例也会跟着变动。
  焦距越大，fov就越小，像在投影平面的比例就越大，这就是长焦镜头。
  
  缩放系数和视场角有关系，最终会提现在x方向和y方向的缩放分量上。
  
  计算缩放系数

• 透视投影矩阵
  先看看构造好的投影矩阵
  

  x,y方向的缩放：主要是将相机坐标系下的坐标
  zoomx 在x方向的缩放值
  zoomy 在y方向的缩放值

  z方向缩放：主要是为了将z值归一化到-1到1之间
  (f+n)/(f-n) 在z方向的缩放量
  z方向平移：主要是为了将z值归一化到-1到1之间
  -2nf/(f-n) 在z方向的平移量

  • 设备空间