VINS笔记1——滤波与优化

1.滤波

1.1.什么是滤波

这里的卡尔曼滤波实际上和信号处理里面的滤波有很大的不同。

信号处理里面的滤波，假设一个正弦信号有很多毛刺，想要对其进行滤波滤除毛刺。信号处理里面的做法是把信号进行FFT变换到频域，然后用一个低通滤波器滤掉高频信号，然后再用IFFT变换到时域，就完成了滤波过程。如下图所示：
而状态估计中的滤波，更属于是一种状态的融合，使用卡尔曼滤波。

1.2.卡尔曼滤波的例子

一个例子：现在一个人玩荒野求生需要确定自己的位置，他手上有一个GPS传感器，定位的可信度是±2m，但是这个GPS的信号发送频率比较低。同时这个人每次走一步可以自己估计出自己这一步走了多远，并且估计的可信度是±0.1m。

假设这个人从开始走了四步，每一步估计自己走了多远的可信度是0.1m，注意这是每一步的，那么他走了四步之后估计出的自己的最终位置的置信度肯定是要比0.1m高的，因为误差在这个过程中是会传递的。假设最终对位置的这个估计是$x_a$（状态转移），置信度是0.8m（实际计算需要严格的推导，这里只是距离）。此时来了一个GPS信号定位的位置是$x_b$（观测），置信度是2m，那么这个时候就需要使用卡尔曼滤波融合这两个结果，比如最后得到的结果是$x_c$，并且融合的结果的置信度一定比之前两个的置信度都要高，假设是0.6m。整个过程如下图所示：

1.3.卡尔曼滤波方程

1.3.1.使用条件

注意普通的卡尔曼滤波的使用条件是系统是线性的，并且状态方程和观测方程的噪声都服从高斯分布。

1.3.2.五大方程

1.4.非线性的EKF

扩展卡尔曼滤波EKF本质上还是KF，他是在工作点附近对状态方程和观测方程都进行了线性化，从而得到线性KF中的A和H。

但是这样存在的一个问题是我们求的偏导都是在预测的$x_k$处的结果，并非最后真正的$x_k$，所以如果预测的结果和真值差的比较远的话，那么线性化不成立，这样EKF的效果自然也就不好了。

2.优化

优化的思想和滤波不同之处在于，滤波只是在上一个状态的基础上考虑当前状态的最佳估计，而不考虑之前的其他状态。但是优化是考虑当前状态和之间的所有状态，以及之前的所有观测，同时优化所有的状态让总的误差最小，也就是寻找在所有观测下的所有状态最大后验估计。

使用贝叶斯公式可以知道，优化的求的最大后验估计其实可以转化为求最大似然估计。原来的最大后验估计问题的描述是找到$x_i$使得$P(x_i|z_i)$最大，而转成最大似然估计后问题的描述变成找到一个$x_i$使得最可能产生当前的观测值$z_i$。比如在高中物理测电阻的实验中，得到一组数据$(I_i,U_i)$，据此拟合一条直线得到电阻$R$。实际上这个过程就是一个最大似然估计，就是寻找一个电阻$R$，使得物理系统的电阻阻值为$R$时最可能产生得到的这些数据$(I_i,U_i)$。

PS：在这里我好像还是没有特别理解最大似然和最大后验的区别，如果按照上面的说法，对电阻测量的这个实验来说，最大似然估计很好解释的通，那么最大后验估计使得后验概率最大是什么意思？