数字信号处理DFT实验

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x(n)=cos(0.48πn)+cos(0.52πn)

 （1）求它的有限样本的频谱。取0≤n≤10，确定并画出DFT[x(n)]。

 （2）取0≤n≤10，确定并画出DFT[x(n)]，对序列补90个零后，确定并画出DFT[x(n)]。

 （3）求它的有限样本的频谱。取0≤n≤100，确定并画出DFT[x(n)]。

   (4）拓展部分

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x(n)=cos(0.48πn)+cos(0.52πn)

（1）求它的有限样本的频谱。取0≤n≤10，确定并画出DFT[x(n)]。

clc;
clear all;

N=11;                               %序列长度
n=[0:1:N-1];
k=[0:1:N-1];
xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);   %原始序列x(n)
WN=exp(-j*2*pi/N);                  %DFT公式的具体实现
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;
magXk=abs(Xk);
angXk=angle(Xk);
plot(k,magXk);grid                     %作图
xlabel('k');title('幅频特性曲线');ylabel('X(k)');

 从示意图中我们可以很明显看出来栅栏效应，图像显得很尖锐，在频率上抽样丢掉了很多重要信息。

　栅栏效应：描述的是信号采样时只能得到采样点的信息，而忽略了采样间隔中数据信息的现象。不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应，只是当时域采样满足采样定理时，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响很大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信号处理失去意义。

（2）取0≤n≤10，确定并画出DFT[x(n)]，对序列补90个零后，确定并画出DFT[x(n)]。

clc;clear all;

N=101;                                  %序列长度
n=[0:1:N-1];
k=[0:1:N-1];
n1=[0:1:10];
xn=cos(0.48*pi*n1)+cos(0.52*pi*n1);    %前11个点为原始序列x(n)
xn=[xn,zeros(1,N-length(n1))];         %将序列补90个0至所需长度
WN=exp(-j*2*pi/N);                     %DFT公式的具体实现
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;
plot(k,abs(Xk));grid                   %作图
xlabel('k');title('幅频特性曲线');ylabel('|X(k)|');

 如图所示，栅栏效应明显降低，但是本质上频率分辨率并没有提高，理论上两个余弦序列求和应该是两个很尖锐的锋。

 （3）求它的有限样本的频谱。取0≤n≤100，确定并画出DFT[x(n)]。

%求它的有限样本的频谱。取0≤n≤100，确定并画出DFT[x(n)]。

clear all;
clc;

N=101;                                  %序列长度
n=[0:1:N-1];
k=[0:1:N-1];
xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);       %原始序列x(n)
WN=exp(-j*2*pi/N);                      %DFT公式的具体实现
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;
plot(k,abs(Xk));grid                    %作图
xlabel('k');title('幅频特性曲线');ylabel('|X(k)|');

 (4）拓展部分

思考一：如果我继续拓展样本的有效长度会怎么样？

图像更加清晰，从而逼近真实无限长序列的DFT

思考二：如果我提高时域抽样的精度对DFT有什么影响？

clear all;
clc;

N=101;                                  
n=[0:0.1:N-1];
xn=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);  

k=[0:1:10*(N-1)];
n=[0:1:10*(N-1)];

     %原始序列x(n)
WN=exp(-j*2*pi/(10*N));                      %DFT公式的具体实现
nk=n'*k;
WNnk=WN.^nk;
Xk=xn*WNnk;
plot(k,abs(Xk));grid                    %作图
xlabel('k');title('幅频特性曲线');ylabel('|X(k)|');

 

实际上，只提高信号的采样频率，但是不提高有效数据长度是无法提高频率分辨率的。

, 其中为有效数据长度；，为抽样间隔。DTFT中，频率分辨率只与有效数据长度有关，成反比关系。

 

本篇为了深入理解DFT，采用的是用矩阵运算求解。MATLAB提供了DFT工具箱。