奇异值分解SVD用于数据压缩（matlab实现）

奇异值分解SVD的目的：

对于一个n阶方阵A，可以求出其特征值和特征向量，满足Ax=λx，可以对其进行特征值分解，由A=WΣWT，W由n个特征向量构成，Σ是对角矩阵，对角线上的元素为特征值

对于一般的mxn维矩阵A，无法求其特征值和特征向量，但是可以求得其奇异值，完成奇异值分解，即A=UΣVT，Σ是包含r个奇异值的对角矩阵，奇异值分解可以看作是特征值分解的推广

奇异值分解SVD的计算步骤：

1. 求AAT的特征值和特征向量，将特征向量单位化、正交化构成U
2. 求ATA的特征值和特征向量，将特征向量单位化、正交化构成V
3. 将AAT（或ATA）的非零特征值开方得到奇异值，构成Σ

奇异值分解SVD的应用：

奇异值和特征值的性质类似，将原始数据向大的奇异值对应的特征向量的方向投影，可以在降低数据维度的同时保留主要的信息，下图中，原始数据在z1方向上的投影可以更多的体现出它的数据特征（在一个方向上数据的方差越大，所代表的信息越多，如果在一个方向上没有方差，那么从这个方向来描述数据，所有的数据都是一致的，携带的信息量为0）。对于一般的mxn维矩阵A要对其进行降维，只能采用SVD方法实现PCA算法。

值得注意的是，使用SVD方法实现PCA算法只能对数据矩阵X从一个方向上降维，也就是要么从行方向，要么从列方向上进行降维压缩，在实际数据中，行和列所代表的意义不同，比如n个具有m个时间点的信号构成mxn维的矩阵，那么压缩的选择就是很关键的。

SVD压缩图像matlab实现：

function mySVD
 
data = im2double(imread('data.jpg'));       %读取图片
data = data(:,:,1);
data = ((data-min(min(data)))/(max(max(data))-min(min(data))))*250;     %将灰度值调整到0-250
imshow(uint8(rot90(data,1)));       %显示原始图像
title('原始图像');
 
[U,S,V] = svd(data);        %对图像进行SVD分解
 
%保留不同个数的奇异值
S_10 = S;   
S_10(11:end,:) = 0;     %将从第11大开始的奇异值置0
 
S_50 = S;
S_50(51:end,:) = 0;     %将从第51大开始的奇异值置0
 
S_100 = S;
S_100(101:end,:) = 0;       %将从第101大开始的奇异值置0
 
data_10 = U*S_10*V';
imshow(uint8(rot90(data_10,1)));       %显示保留最大的10个奇异值的图像
title('由前10大的奇异值重建的图像');
 
data_50 = U*S_50*V';
imshow(uint8(rot90(data_50,1)));        %显示保留最大的50个奇异值的图像
title('由前50大的奇异值重建的图像');
 
data_100 = U*S_100*V';
imshow(uint8(rot90(data_100,1)));        %显示保留最大的100个奇异值的图像
title('由前100大的奇异值重建的图像');
 
end

随着保留的奇异值的数量增多，图像重建的效果越来越好，由前100大的奇异值重建出的图像基本上与原图一致