【推导】线性变换与在基下的矩阵一一对应

前置定义 1　设 $T$ 是线性空间 $V_n$ 中的线性变换，在 $V_n$ 中取定一个基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$，如果这个基在变换 $T$ 下的像（用这个基线性表示）为
$$\{\begin{array}{rl}& T({\mathbf{\alpha }}_1)=a_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{n1}{\mathbf{\alpha }}_n)\\ & T({\mathbf{\alpha }}_2)=a_{12}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{22}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{n2}{\mathbf{\alpha }}_n)\\ & \cdots \cdots \cdots \\ & T({\mathbf{\alpha }}_n)=a_{1n}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{2n}{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +a_{nn}{\mathbf{\alpha }}_n)\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
记 $T({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)=(T({\mathbf{\alpha }}_1),T({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_n))$，则上式 $(6)$ 可表示为
$$T({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)$$
那么，$\mathbf{A}$ 就称为 线性变换 $T$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的矩阵。

定义详 “【推导】线性变换的矩阵表达式”。

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根据前置定义 1，显然，矩阵 $\mathbf{A}$ 由基的像 $T({\mathbf{\alpha }}_1),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_n)$ 唯一确定，即由线性变换 $T$ 可唯一地确定一个矩阵 $\mathbf{A}$。下面推导由一个矩阵 $\mathbf{A}$ 也可唯一地确定一个线性变换 $T$。

将 ${\mathbf{V}}_n$ 中的任意元素记为 $\mathbf{\alpha }={\sum }_{i=1}^n{x}_i{\mathbf{\alpha }}_i$，根据前置定义 1 的式 $(2)$，有
$$\begin{array}{rl}T(\sum _{i=1}^n{x}_i{\mathbf{\alpha }}_i)& =\sum _{i=1}^n{x}_{i}T({\mathbf{\alpha }}_i)\\ & =(T({\mathbf{\alpha }}_1),T({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_n))\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\\ & =({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\end{array}$$
即
$$T\left[({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\right]=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n)\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\text{\hspace{1em}(3)}$$
上式 $(3)$ 唯一地确定一个变换 $T$，可以验证确定的变换 $T$ 是以 $\mathbf{A}$ 为矩阵的线性变换。总之，以 $\mathbf{A}$ 为矩阵的线性变换 $T$ 由关系式 $(3)$ 唯一确定。

综上所述，线性变换与矩阵之间有一一对应的关系。

由关系式 $(3)$，可见 $\mathbf{\alpha }$ 与 $T(\mathbf{\alpha })$ 在基 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 下的坐标分别为
$$\mathbf{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),T(\mathbf{\alpha })=\mathbf{A}\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$
即按坐标表示，有
$$T(\mathbf{\alpha })=\mathbf{A}\mathbf{\alpha }$$