一文读懂“欧氏距离”

出自《白话大数据与机器学习》

欧氏距离的定义大概是这样的：在一个N维度的空间里，求两个点的距离，这个距离肯定是一个大于等于0的数字（也就是说没有负距离，最小也就是两个点重合的零距离），那么这个距离需要用两个点在各自维度上的坐标相减，平方后加和再开平方。

欧氏距离使用的范围实在是太广泛了，我们几乎每天都在使用。

一维的应用就相当多，如在地图上有一条笔直的东西向或者南北向的路，在上面有两个点，怎么量取它们在地图上的距离？数轴标识如图所示，可以用尺子的刻度贯穿两个点，大值减小值就能直接得出结果，最多再乘以一个比例尺就能得到实际的大小。或者用其中一个点的读数减去另外一个点的读数，不管结果正负，将它平方后再开方，还是一个非负数的值，这两种办法本质上没有什么区别。地图明明是一个二维平面的概念，为什么非要说是一维的呢？只是因为量取的手段和一维一样，只参考一个维度的读数就可以了。

二维的应用也是很多的，其中最典型的莫过于人们熟知的“勾股定理”。公式如下：

即

推广到三维的应用，还是可以使用勾股定理的思路进行计算。每个点都向3个平面各做一条垂线段，可以看出，两个点的距离其实就是一个长方体的对角线长度。最后得到距离为3个维度的坐标差值分别平方加和再开平方：

欧氏距离除了刚刚举的例子，在数据挖掘部分会有很多应用场景。它主要用来描述两个多维点之间的“距离”，遗憾的是，三维以下的点和点的距离通过刚刚的讲解很容易出现画面感，四维和四维以上的距离就只能凭想象了，只是在计算中确实存在且有对应的含义解释。这种解释通常也用来直接判断两个点在多维关系上谁与谁更“近”，虽然超过三维的情况下这个“近”已经没有办法用手边的工具量出来。例如，在一个五维空间里，A点和B点的距离为6，A点和C点的距离为10，那么就可以认为B点到A点的距离比C点到A点的距离更近，这样就足够了。