广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)

文章目录

  • 0 笔记说明
  • 1 书本内容
    • 1.1 广义逆矩阵
    • 1.2 伪逆矩阵
    • 1.3 广义逆与线性方程组
  • 2 听课笔记
    • 2.1 广义逆矩阵
    • 2.2 伪逆矩阵
    • 2.3 广义逆与线性方程组


0 笔记说明

参考书籍为:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第1张图片
本篇博客是关于书中第八章的内容,下面开始即为正文。


1 书本内容

1.1 广义逆矩阵

1、rank(A)≤rank(A-):因为rank(A)=rank(AA-A)≤rank(AA-)≤rank(A-)。

2、减号逆的性质:设A∈Cm×n,λ∈R则:

(1) (AT)-=(A-)T,(AH)-=(A-)H

(2) 若m=n,且rank(A)=n时,有A-=A-1,且此时A-唯一;

(3) (λA)-+A-,其中λ∈R,λ+为:
在这里插入图片描述
(4) 设S∈Cm×m,rank(S)=m,T∈Cn×n,rank(T)=n,且B=SAT,则(SAT)-=T-1A-S-1

1.2 伪逆矩阵

1、伪逆矩阵A+唯一:证明:设X、Y都是A的伪逆矩阵,即X,Y都满足Penrose方程的四个等式,所以X=XAX=XAYAX=X(AY)H(АХ)H=X(AXAY)H=X(AY)H=XAY=XAYAY=(XA)H(YA)HY=(YAXA)HY=(YA)HY=YAY=Y,证毕。

2、加号逆的性质:设A∈Cm×n,λ∈R则:

(1) (AT)+=(A+)T,(AH)+=(A+)H

(2) 若m=n,且rank(A)=n时,有A+=A-1

(3) (λA)++A+,其中λ∈R,λ+为:
在这里插入图片描述
(4) 设S∈Cm×m,rank(S)=m,T∈Cn×n,rank(T)=n,且B=SAT,则(SAT)+=T-1A+S-1

(5) (A+)+=A;

(6) (AAH)+=(AH)+A+=(A+)HA+,(AHA)+=A+(AH)+=A+(A+)H

(7) A+=AH(AAH)+=(AHA)+AH。证明过程:A+=A+AA+=(A+A)HA+=AH(A+)HA+=AH(AAH)+,A+=A+AA+=A+(AA+)H=A+(A+)HAH=(AHA)+AH,证毕。

3、对角矩阵的加号逆:若A=diag(λ12,…,λn),则A+=diag(μ12,…,μn),其中μi为:① λi≠0时,μii-1;② λi=0时,μi=0。

1.3 广义逆与线性方程组

1、相容方程组的最小模解:相容方程组在一般情况下解是不唯一的,在这些解中,方程组的最小模解(或称最小范数解)在实际应用中是十分有用的。称相容方程组Ax=b的所有解x中模(2-范数)最小的解是Ax=b的最小模解,其中x的2-范数是||x||=sqrt(xHx)。设B是A∈Cm×n的一个广义逆矩阵,则下列两个命题是等价的:

(1) 对于任给b∈R(A),则x=Bb一定是Ax=b的最小模解;

(2) (BA)H=BA。


2 听课笔记

2.1 广义逆矩阵

1、矩阵的逆:若A∈Cn×n,且A为可逆矩阵,则:

① AA-1A=A;

② A-1AA-1=A-1

③ (AA-1)H=AA-1

④ (A-1A)H=A-1A。

2、Penrose方程:若A∈Cm×n,以下矩阵方程称为Penrose方程:

① AXA=A;

② XAX=X;

③ (AX)H=AX;

④ (XA)H=XA。

满足Penrose方程中一个或多个的X∈Cn×m称为A的一种广义逆矩阵,其中满足①的广义逆矩阵称为减号逆,记为A-,满足①②③④的广义逆矩阵称为加号逆,记为A+。教材上称减号逆A-为广义逆,称加号逆A+为伪逆。

3、减号逆存在定理:A∈Cm×n,则减号逆A-一定存在,且不唯一。证明过程如下:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第2张图片
4、减号逆的求解:A∈Cm×n,则:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第3张图片
举个栗子:矩阵A为:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第4张图片
而:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第5张图片
故矩阵P、Q为:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第6张图片
则:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第7张图片
5、矩阵的左逆与右逆:设A∈Cm×n

(1)若存在矩阵B∈Cn×m,使得BA=Ⅰn,则称B是A的左逆,记AL-1=B,称A左可逆;

(2)若存在矩阵B∈Cn×m,使得AB=Ⅰm,则称B是A的右逆,记AR-1=B,称A右可逆;

(3)若A是满秩方阵,则A-1=AL-1=AR-1

2.2 伪逆矩阵

1、列满秩矩阵存在左逆:设A∈Cm×n,rank(A)=n,即A是列满秩矩阵,则A存在左逆,AL-1=(AHA)-1AH。证明过程如下:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第8张图片
2、行满秩矩阵存在右逆:设A∈Cm×n,rank(A)=m,即A是行满秩矩阵,则A存在右逆,AR-1=AH(AAH)-1。证明过程如下:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第9张图片
3、加号逆存在定理:设A∈Cm×n,A=BC是A的一个满秩分解,其中B为列满秩矩阵,则B存在左逆,且BL-1=(BHB)-1BH,C为行满秩矩阵,则C存在右逆,且CR-1=CH(CCH)-1,则X=CR-1·BL-1=CH(CCH)-1(BHB)-1BH是A的加号逆A+,也称为伪逆矩阵。

2.3 广义逆与线性方程组

1、相容非齐次线性方程组解的结构:A∈Cm×n,若Ax=b有解,则通解为x=A-b+(Ⅰn-A-A)·t,其中Ⅰn是n阶单位阵,t∈Cn。显然Ax=b的通解等于Ax=0的通解加上Ax=b的一个特解。而x=A-b为Ax=b的一个特解,x=(Ⅰn-A-A)·t为Ax=0的通解,代入验证确实是这样。

2、非齐次线性方程组的相容性:A∈Cm×n,Ax=b有解⇔b=AA-b。证明过程如下:
广义逆矩阵:加号逆(A+)与减号逆(A-)_第10张图片
3、最小二乘解的通解:A∈Cm×n,b∈Cm,则Ax=b的最小二乘解的通解为x=A+b+(Ⅰn-A+A)·t,其中Ⅰn是n阶单位阵,t∈Cn


END

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