广义逆矩阵：加号逆(A+)与减号逆(A-)

---

0 笔记说明

参考书籍为：

本篇博客是关于书中第八章的内容，下面开始即为正文。

---

1 书本内容

1.1 广义逆矩阵

1、rank(A)≤rank(A^-)：因为rank(A)=rank(AA^-A)≤rank(AA^-)≤rank(A^-)。

2、减号逆的性质：设A∈C^m×n，λ∈R则：

(1) (A^T)^-=(A^-)^T，(A^H)^-=(A^-)^H；

(2) 若m=n，且rank(A)=n时，有A^-=A^-1，且此时A^-唯一；

(3) (λA)^-=λ⁺A^-，其中λ∈R，λ⁺为：

(4) 设S∈C^m×m，rank(S)=m，T∈C^n×n，rank(T)=n，且B=SAT，则(SAT)^-=T^-1A^-S^-1。

1.2 伪逆矩阵

1、伪逆矩阵A⁺唯一：证明：设X、Y都是A的伪逆矩阵，即X，Y都满足Penrose方程的四个等式，所以X=XAX=XAYAX=X(AY)^H(АХ)^H=X(AXAY)^H=X(AY)^H=XAY=XAYAY=(XA)^H(YA)^HY=(YAXA)^HY=(YA)^HY=YAY=Y，证毕。

2、加号逆的性质：设A∈C^m×n，λ∈R则：

(1) (A^T)⁺=(A⁺)^T，(A^H)⁺=(A⁺)^H；

(2) 若m=n，且rank(A)=n时，有A⁺=A^-1；

(3) (λA)⁺=λ⁺A⁺，其中λ∈R，λ⁺为：

(4) 设S∈C^m×m，rank(S)=m，T∈C^n×n，rank(T)=n，且B=SAT，则(SAT)⁺=T^-1A⁺S^-1；

(5) (A⁺)⁺=A；

(6) (AA^H)⁺=(A^H)⁺A⁺=(A⁺)^HA⁺，(A^HA)⁺=A⁺(A^H)⁺=A⁺(A⁺)^H；

(7) A⁺=A^H(AA^H)⁺=(A^HA)⁺A^H。证明过程：A⁺=A⁺AA⁺=(A⁺A)^HA⁺=A^H(A⁺)^HA⁺=A^H(AA^H)⁺，A⁺=A⁺AA⁺=A⁺(AA⁺)^H=A⁺(A⁺)^HA^H=(A^HA)⁺A^H，证毕。

3、对角矩阵的加号逆：若A=diag(λ₁,λ₂,…,λ_n)，则A⁺=diag(μ₁,μ₂,…,μ_n)，其中μ_i为：① λ_i≠0时，μ_i=λ_i^-1；② λ_i=0时，μ_i=0。

1.3 广义逆与线性方程组

1、相容方程组的最小模解：相容方程组在一般情况下解是不唯一的，在这些解中，方程组的最小模解(或称最小范数解)在实际应用中是十分有用的。称相容方程组Ax=b的所有解x中模(2-范数)最小的解是Ax=b的最小模解，其中x的2-范数是||x||=sqrt(x^Hx)。设B是A∈C^m×n的一个广义逆矩阵，则下列两个命题是等价的：

(1) 对于任给b∈R(A)，则x=Bb一定是Ax=b的最小模解；

(2) (BA)^H=BA。

---

2 听课笔记

2.1 广义逆矩阵

1、矩阵的逆：若A∈C^n×n，且A为可逆矩阵，则：

① AA^-1A=A；

② A^-1AA^-1=A^-1；

③ (AA^-1)^H=AA^-1；

④ (A^-1A)^H=A^-1A。

2、Penrose方程：若A∈C^m×n，以下矩阵方程称为Penrose方程：

① AXA=A；

② XAX=X；

③ (AX)^H=AX；

④ (XA)^H=XA。

满足Penrose方程中一个或多个的X∈C^n×m称为A的一种广义逆矩阵，其中满足①的广义逆矩阵称为减号逆，记为A^-，满足①②③④的广义逆矩阵称为加号逆，记为A⁺。教材上称减号逆A^-为广义逆，称加号逆A⁺为伪逆。

3、减号逆存在定理：A∈C^m×n，则减号逆A^-一定存在，且不唯一。证明过程如下：

4、减号逆的求解：A∈C^m×n，则：

举个栗子：矩阵A为：

而：

故矩阵P、Q为：

则：

5、矩阵的左逆与右逆：设A∈C^m×n：

（1）若存在矩阵B∈C^n×m，使得BA=Ⅰ_n，则称B是A的左逆，记A_L^-1=B，称A左可逆；

（2）若存在矩阵B∈C^n×m，使得AB=Ⅰ_m，则称B是A的右逆，记A_R^-1=B，称A右可逆；

（3）若A是满秩方阵，则A^-1=A_L^-1=A_R^-1。

2.2 伪逆矩阵

1、列满秩矩阵存在左逆：设A∈C^m×n，rank(A)=n，即A是列满秩矩阵，则A存在左逆，A_L^-1=(A^HA)^-1A^H。证明过程如下：

2、行满秩矩阵存在右逆：设A∈C^m×n，rank(A)=m，即A是行满秩矩阵，则A存在右逆，A_R^-1=A^H(AA^H)^-1。证明过程如下：

3、加号逆存在定理：设A∈C^m×n，A=BC是A的一个满秩分解，其中B为列满秩矩阵，则B存在左逆，且B_L^-1=(B^HB)^-1B^H，C为行满秩矩阵，则C存在右逆，且C_R^-1=C^H(CC^H)^-1，则X=C_R^-1·B_L^-1=C^H(CC^H)^-1(B^HB)^-1B^H是A的加号逆A⁺，也称为伪逆矩阵。

2.3 广义逆与线性方程组

1、相容非齐次线性方程组解的结构：A∈C^m×n，若Ax=b有解，则通解为x=A^-b+(Ⅰ_n-A^-A)·t，其中Ⅰ_n是n阶单位阵，t∈Cⁿ。显然Ax=b的通解等于Ax=0的通解加上Ax=b的一个特解。而x=A^-b为Ax=b的一个特解，x=(Ⅰ_n-A^-A)·t为Ax=0的通解，代入验证确实是这样。

2、非齐次线性方程组的相容性：A∈C^m×n，Ax=b有解⇔b=AA^-b。证明过程如下：

3、最小二乘解的通解：A∈C^m×n，b∈C^m，则Ax=b的最小二乘解的通解为x=A⁺b+(Ⅰ_n-A⁺A)·t，其中Ⅰ_n是n阶单位阵，t∈Cⁿ。

---

END