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数学随记—公式定理
初等函数
幂函数
以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数 y=x^a
指数函数
底数为常数，指数为自变量，幂为因变量的函数称为指数函数 y=a^x
对数函数
对数函数以幂为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数
y=loga^N
对数函数为指数函数的反函数。
loga^y=x a^x=y
三角函数
若有一个任意角度三角形，半径为r
则有
- sinA = y/r
- cosA = x/r
- tanA = y/x
- cotA = x/y
- secA = r/x
- cscA = r/y
反三角函数
指三角函数的反函数。由于基本三角函数具有周期性，所以反三角函数是多值函数。这种多值的反三角函数包括：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数，分别记为Arcsin x,Arccos x,Arctan x,Arccot x,Arcsec x,Arccsc x。但是，在实函数中一般只研究单值函数，只把定义在包含锐角的单调区间上的基本三角函数的反函数，称为反三角函数，这是亦称反圆函数
阶乘
0！ = 1
希尔伯特旅馆
n!≈(n/e)^n
向量
- 数量（标量）
只有大小没有方向的量
- 向量（矢量）
具有大小和方向的量
- 向量的模
向量的大小或向量的长度。向量a的模->|a|
向量的运算
有a=(x1,y1),b=(x2,y2)
- 加法
a+b=(x1+x2,y1+y2)
满足 交换律，结合律
- 减法
a-b=(x1-x2,y1-y2)
- 数乘
(x+y)* a =x * a+y * a
数乘满足 结合律，分配率
- 点乘
几何意义：一个向量与这个向量在在另一个向量上的投影的长度的乘积。
a·b =|a|·|b|·cos(a,b)
不满足 交换律，结合律，分配率
若a=(x1,y1) b=(x2,y2)
坐标运算：
a · b = x1x2+y1y2
- 叉乘
定义：
若a、b不共线
c=a∧b =|a||b|sin(a,b)
a * b=-b * a
坐标运算：
若a=(ax,ay,az) b=(bx,by,bz)
a ∧ b = (aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)
组合与排列
m>n
-
排列
A(m,n)= m!/(m-n)! -
组合
C(m,n)=A(m,n)/n!
牛顿二项式
两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。
记作
极限
极限，设|Xn|为一数列，如果∃常数a,对于任意给定的正数ε,总∃正整数N，使得n>N时，不等式|Xn-a|<ε都成立，则a称为数列的极限，记作 limf(x)=a (n->∞)
二个重要极限
lim (1+1/n)^n = en->∞lim sin(x)/x = 1x->0
四则运算
lima(x)=A (n->∞),limb(x)=B (n->∞)
- a(x)+b(x)=c(x)
limc(x)=A+B (n->∞) - a(x)-b(x)=c(x)
limc(x)=A-B (n->∞) - a(x)*b(x)=c(x)
limc(x)=A*B (n->∞) - a(x)/b(x)=c(x) b(x)!=0,
limc(x)=A/B (n->∞)
夹逼定理
有数列 an,bn,cn liman=L (n->∞) limcn=L (n->∞) an<=bn<=cn 则 limbn=L (n->∞)
导数
当函数y=f(x)的自变量x在点x0上产生一个增量Δx时，函数输出的值的增量Δy与自变量Δx的比值在Δx趋近于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x)
f(x)=f'(x) 理解 xt<->vt 位移时间图<->速度时间图
f'(x)=lim f(x)-f(x0)/(x-x0) (x->x0)
导数的运算法则
x,y是2个函数
- (x+y)'=x'+y'
- (x-y)'=x'-y'
- (xy)'=x'y+xy'
- (x/y)'=(x'y-xy')/y^2
初等函数导数公式
-
幂函数的导数
(x^n)'= nx^(n-1) -
指数函数
(e^x)'= e^x -
对数函数
(lnx)'= 1/x -
三角函数
(sin x)' = cos(x)(cos x)' = -sin(x)(tan x)' = 1/cos^2(x) -
反三角函数
(arcsinx)' = 1/(1-x^2)^1/2(arccosx)' = -1/(1-x^2)^1/2(arctanx)' = 1/(1+x^2)
微积分
不定积分
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C(C为任意常数)叫做函数f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C,f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数
定积分
对于一个给定的实函数f(x)，在区间[a，b]上的定积分。
微分
函数的微分 等于 函数的导数乘以自身的微分
f'(x)=df/dx => df=f'(x)dx
例:
dx^2=2xdx
分部积分
(xy)'=x'y+xy'
∫(xy)'dx= ∫x'ydx+∫xy'dx
xy = ∫ydx + ∫xdy
级数
级数是指将数列的项依次用加号链接起来的函数。
中值定理
如果f(x)在[a,b]上连续且可导，且f(a)=f(b) ∃ c∈(a,b) 则 f'(c)=0
拉格朗日定理
如果f(x)在[a,b]上连续且可导， ∃ c∈(a,b) 则f'(c)=f(a)-f(b)/a-b
柯西中值定理
推广： 有f(x),g(x) x∈[a,b]
f'(c)/g'(c) = f(b)-f(a)/g(b)-g(a)
洛必达法则 L‘Hospital
若f(x)->0 g(x)->0
lim f(x)/g(x)=lim f'(x)/g'(x) x->a
泰勒展开 Taylar series
通过x点 临近点 x0的各种信息估算出x点具体值的过程。
f(x)≈f(x0)+f'(x0)x+1/2f''(x0)x^2+...
例如：
e^x= 1+1+1/2!+1/3!+1/4!+...+..
香克斯变换 Shanks Transform
若有 s= 1 -1/2+1/3-1/4+1/5+... limSn = L
则有
S(Sn)=Sn^2-S(n-1)*S(n+1)/2Sn-S(n-1) -S(n+1)
取Sn 7项，每3项做一次 香克斯变换，对香克斯变换再做香克斯变换，最终得到误差值相对较小。
偏导数
一个多变量的函数，关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定（相对于全导数，在其中所有变量都允许变化）。
若有z=f(x,y)在点(x0,y0)处有定义，且有关于dx或dy的极限存在则表示为：
-
∂f/∂x (∂f/∂y) |x=x0,y=y0
-
∂z/∂x (∂f/∂y) |x=x0,y=y0
-
Zx |x=x0,y=y0
-
fx(x0,y0)
多元函数偏导交换
∂(∂f/∂x)/∂y=∂(∂f/∂y)/∂x
∂^2f/∂y*∂x = ∂^2f/∂x*∂y
向量场论
场论
物理学中把某个物理量在空间的一个区域内的分布称为场
- 向量场
由一个向量对应另一个向量的函数。
例如：电磁场
- 标量场
用一个代数量来来描绘 something在定义空间内的分布状态。(something:密度，压力等)
例如：温度场，电势场，密度场
向量的偏导运算符
- 符号
nabla ▽
- 公式
▽h=(∂h/∂x,∂h/∂y)
梯度
- 定义
一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向变化最快，变化率最大。
- 标量场中的梯度
标量场 ： h(x,y,z)
梯度： ▽h≡(∂h/∂x,∂h/∂y,∂h/∂z)
梯度描述了一个标量场向
散度
矢量场 v=(Vx,Vy,Vz)
散度 ▽·v≡ ∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂z
描述一个矢量场在某一个的发散数
旋度
矢量场 v=(Vx,Vy,Vz)
散度 ▽∧v≡ (∂Vz/∂y-∂Vy/∂z,∂Vx/∂z-∂Vz/∂x,∂Vy/∂x-∂Vx/∂y)
描述一个矢量场旋转的属性，每点都描述了角速度
一些结论
-
任意标量场，梯度的旋度为0 ▽∧▽ρ=0
-
任意矢量场，旋度的散度为0
▽(▽∧v） =0
- 任意2个矢量场的叉剩的旋度
▽∧(u∧v） =(v * ▽) * u-(u * ▽) * v-v (▽ * u) +u (▽ * v)
爱因斯坦指标求和
| 原表达式 | 替换表达式 | 说明 |
|---|---|---|
| V | Vi | i=x,y,z 的遍历 |
| V·U | ViUi | i重复表示求和 |
| ▽ | ∂i | 对i求偏导 |
| ▽ρ | ∂iρ | 梯度 |
| ▽∧V | εijk ∂j Vk | εijk为levi-civita表达式,ijk有27种其中只有3个正3个负，其他为0,εijk={1（xyz,yzx,zxy）,-1(yxz,xzy,zyx),0(xxx,xxy,xyy......)} |
变分法
泛函
把具备某种性质的函数记作D，对于集合D中的任意函数f(x),变量Q都有唯一确定的值与它对应，那么变量Q叫做依赖于函数f(x)的泛函。