自控——线性系统的频率响应法

       

目录

        1.频率特性

        1.1频率特性的基本概念

        1.2 频率特性的图形化表示

        1.2.1 幅相频率特性曲线（极坐标图）

        1.2.2 对数频率特性曲线（伯德图）

        2.典型环节的频率特性

        2.1 比例环节

        2.2 积分环节

        2.3微分环节

        2.4一阶微分环节

        2.5惯性环节

        2.6振荡环节

3.系统开环频率特性的绘制

        3.1最小相位系统

        3.2 系统开环幅相特性的绘制

4.系统开环对数频率特性的绘制

        4.1 低频起始段的确定

        4.2转折频率及线段斜率的变化量

         4.3 绘制开环对数频率特性曲线步骤

        4.4 基于频率特性的稳定性判据

        4.4.1奈奎斯特稳定判据

        4.5 稳定裕度

        4.5.1幅值裕度

        4.5.2 相位裕度

       5.频域指标与时域指标的关系

        5.1闭环频率特性与时域指标的关系

        5.1.1 零频幅值M(0)

        5.1.2 带宽频率

        5.1.3 谐振峰值与谐振频率

        5.2开环频率特性与时域指标的关系

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 前面通过线性系统的时域分析法，基于系统的微分方程模型，通过拉式变换求得单位阶跃响应函数，并分析了相应的动态指标与稳定指标，对于典型的二阶过阻尼振荡系统，分析了阻尼比对于系统的影响；通过开环函数的零极点绘制根轨迹图找出闭环极点随着系统参数变化的规律，本章通过频率响应法来分析系统的性能，基于系统的频域数学模型——频率特性。

        1.频率特性

        1.1频率特性的基本概念

        设输入

        传递函数为

        输出响应为：

        

        由欧拉公式为：

        幅频特性A(w)：

        相频特性:    

        频率特性 :  G(jw)

        频率特性具有明确的物理意义可以用实验的方法来测定，频率特性适用于开环系统、闭环系统和控制装置，大部分系统是一个低通滤波器。 

        1.2 频率特性的图形化表示

        1.2.1 幅相频率特性曲线（极坐标图）

        对于任一给定的频率，频率特性表示s平面上的一个点，是向量

的端点，完整的幅相曲线是当频率从连续变化时，  向量端点在s平面上的轨迹由于的幅相曲线关于实轴对称，因此只需要绘制随频率变化的轨迹，并用箭头表示w增大时幅相曲线的变化方向，完整的幅相曲线是一条封闭曲线，也称为奈奎斯特曲线。

        1.2.2 对数频率特性曲线（伯德图）

        伯德图是将系统的对数幅频特性和对数相频特性分别画在各自的坐标系中。

        对数幅频特性是取的为纵坐标，单位为dB。

        对数相频特性是以为纵坐标，单位为°，横坐标都为角频率w，单位为rad/s，以lgw的值进行线性分度，

        2.典型环节的频率特性

        2.1 比例环节

        传递函数为 

        频率特性为：

        幅频特性为：

        相频特性为：

        2.2 积分环节

        传递函数为 :

        频率特性为：

        幅频特性为：

        相频特性为：

        2.3微分环节

        

        传递函数为 :

        频率特性为：

        幅频特性为：

        相频特性为：

        2.4一阶微分环节

        

        传递函数为 :

        频率特性为：

        幅频特性为：

        相频特性为：

        2.5惯性环节

        

        传递函数为 

        频率特性为：

        幅频特性为：

        相频特性为： 

        2.6振荡环节

        

        传递函数为 

       

 谐振频率为：

谐振峰值为：

3.系统开环频率特性的绘制

        3.1最小相位系统

        最小相位系统是指系统的开环传递函数在s右半平面没有零、极点也没有延迟环节的系统

        3.2 系统开环幅相特性的绘制

        三要素：

        (1)确定开环幅相曲线的起点（w=0）和终点（w=）

        (2)计算开环幅相曲线与负实轴的交点

        幅相曲线与负实轴相交时，幅角为,求出w，再求出A(w)

        (3)确定开环幅相曲线的变化范围（所处的象限，单调性）

        规律：

        (1)对于0型系统，起点位于实轴上坐标为(K,0)的点，K为开环增益

        (2)对于v型系统，起点位于幅角为-v x 90°的无穷远出

      （3）如果分母阶次n大于分母阶次m，w趋于无穷时，幅相曲线以-（n-m）x 90°的角度终止于坐标原点

        （4）如果分母阶次等于分子阶次，w趋于无穷时，幅相曲线终止于实轴上原点之外的某一点

4.系统开环对数频率特性的绘制

        4.1 低频起始段的确定

        时，

        v=0,时，,斜率为0；

        v=1时，,斜率为-20db/dec

        v=2时，,斜率为-40db/dec

        4.2转折频率及线段斜率的变化量

        

		-20dB/dec
		20dB/dec
		-40dB/dec
		40dB/dec

         4.3 绘制开环对数频率特性曲线步骤

        (1)写出开环频率特性表达式，并进行标准化，将所含各典型环节的转折频率由小到大依次标在对数坐标轴上，坐标轴长度选择左边小于5~10倍的最小转折频率，右边大于5~10倍最大转折频率

        (2)绘制开环对数渐进幅频曲线

        低频段：

        在w=1，高度为20lgk处，画出斜率为-20vdB/dec的线段，遇到第一个转折频率为止或反向延长线遇到第一个转折频率为止

        中频段：每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率

        高频段：,渐近线斜率为

        4.4 基于频率特性的稳定性判据

        4.4.1奈奎斯特稳定判据

        已知系统在s右半平面的开环极点个数P(不包括虚轴的极点)，奈奎斯特封闭曲线穿越（-1，0）左边实轴次数为R，Z是闭环系统具有不稳定极点的个数，Z=P-R=P-2N=0时，系统为稳定的。

R=2N=2（N+-N-）,从下往上穿越是负穿越，从上往下穿越是正穿越，起点在（,-1）的实轴上时记为1/2次穿越。

        4.5 稳定裕度

        4.5.1幅值裕度

        

        °

幅值裕度的意义:如果系统开环幅频特性曲线再增大倍，则系统将变为临界稳定状态，越大

允许开环增益的变化值也越大

        4.5.2 相位裕度

        

        

相位裕度的意义：如果系统截止频率处的相位滞后再增加，系统处于临界稳定状态。

       5.频域指标与时域指标的关系

        5.1闭环频率特性与时域指标的关系

        5.1.1 零频幅值M(0)

        

        零频幅值反映了闭环系统在阶跃信号作用下是否存在稳态误差，当M（0）=1时，说明单位反馈系统在阶跃信号作用下没有稳态误差，M（0）越接近1，稳态误差越小

        5.1.2 带宽频率

        截止频率越大，带宽越大，

        5.1.3 谐振峰值与谐振频率

        谐振峰值是闭环幅频特性M（w）的最大值，它与系统阶跃响应的最大超调量对应，表征了系统的相对稳定性，越大，系统的相对稳定性越差，越大，上升时间越小

        5.2开环频率特性与时域指标的关系

        

        

        相位裕度越大，超调量越小，截止频率越大，调节时间短