[离散数学]集合论基础P_4：运算定律及其证明

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前言

第一讲：集合论基础

集合论在数学中占有一个独特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域，是基础的基础。

在离散数学中，需要使用集合来表达各类离散量以及离散量之间的关系，所以首先学习集合论是重中之重。

本文集合运算定律及其证明是集合论基础的第四部分。

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1. 集合运算的基本等式

定义

设$U$为全集，$A,B,C$为任意集合。

1. $A\cup A=A,A\cap A=A$.

幂等律
$A\cup A$可以理解为A针对并运算的二次幂。
同理$A\cap A=A$可以理解为A针对交运算的二次幂。

2. $A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A$.

交换律

3. $A\cup \left(B\cup C\right)=\left(A\cup B\right)\cup C,A\cap \left(B\cap C\right)=\left(A\cap B\right)\cap C$.

结合律

4. $A\cup \varnothing =A,A\cap U=A$.

同一律

5. $A\cup U=U,A\cap \varnothing =\varnothing$.

零律
类似乘法中的乘0

6. $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right),A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.

分配律
实数运算中，只有乘法对加法可以满足分配率，反过来加法和乘法不满足。
不过并运算对交运算满足，交运算对并运算也满足。

7. $A\cup \left(A\cap B\right)=A,A\cap \left(A\cup B\right)=A$.

吸收律
内层和外层运算不同，外层和内层有一个共同元素$A$，运算结果也是$A$

8. $\overline{A}\cap A=\varnothing ,\overline{A}\cup A=U$.

矛盾律和排中律

9. $\overline{\overline{A}}=A$

双重否定律

10. $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B},\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$

德摩根律
先进行并运算再进行补运算等价于先取补后再求交。
先进性交运算再进行补运算等价于先取补后再求并。

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2. 基于文氏图的形象理解

1. $A\cup \left(B\cup C\right)$
   
   蓝色条纹表示$\left(B\cup C\right)$
   绿色条纹表示$A$
   蓝色条纹和绿色条纹相交的部分为$A\cup \left(B\cup C\right)$

2. $\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$
   
   蓝色条纹表示$\left(A\cap B\right)$
   绿色条纹表示$\left(A\cap C\right)$
   蓝色条纹和绿色条纹之和的部分为$\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$

文氏图是从视觉感官上进行一个形象化的理解。

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3.集合相等的证明

回顾证明方法

接下来使用数学方法做严格证明，首先回顾一下证明方法。

如需证明集合$A$和$B$相等，通常的方法是证明两个集合间的相互包含关系，即
$$A=B⟺A\subseteq B\text{并且}B\subseteq A$$
而证明集合的包含关系则使用如下方法：
$$B\subseteq A⟺\forall x\in B,x\in A$$

证明框架

证明：

1. 首先证明$A\subseteq B$：$\forall x\in A,\cdots ,x\in B.\therefore A\subseteq B.$
2. 其次证明$B\subseteq A$：$\forall x\in B,\cdots ,x\in A.\therefore B\subseteq A.$

由以上两点，可知A=B。

例子

证明德摩根律的等式之一：$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$

证明：

1. 首先证明$\overline{A\cup B}\subseteq \overline{A}\cap \overline{B}$
    
   $\forall x\in \overline{A\cup B}$
   $\Rightarrow x\notin A\cup B$
   $\Rightarrow x\notin A\text{并且}x\notin B$
   $\Rightarrow x\in \overline{A}\text{并且}x\in \overline{B}$
   $\Rightarrow x\in \overline{A}\cap \overline{B}$

2. 其次证明$\overline{A}\cap \overline{B}\subseteq \overline{A\cup B}$
    
   $\forall x\in \overline{A}\cap \overline{B}$
   $\Rightarrow x\in \overline{A}\text{并且}x\in \overline{B}$
   $\Rightarrow x\notin A\text{并且}x\notin B$
   $\Rightarrow x\notin A\cup B$
   $\Rightarrow x\in \overline{A\cup B}$

由以上两点，可知等式$\overline{A\cup B}\subseteq \overline{A}\cap \overline{B}$成立。

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总结

本文介绍了集合论基础中的集合的运算定律及其证明部分，对集合有深入的了解。