求过度矩阵+(二次型标准化)正交变换的过度矩阵

求过渡矩阵的方法
求-个由基a, a,., a,到B, .,… β.的过渡矩阵P, 一般采用下列方法:

(1)定义法:

例

函数R[x]_5旧基为B1={1，x, x2, x3,x4);新基B2={1，1+x，1+x+x2, 1+x+x2+x3,1+x+x2+x3+x4}.
则
$$B2=B1\times \left[\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
式子右端矩阵就是旧基B到新基B的过渡矩阵.

(2)借助第三组基

由过渡矩阵的唯一性知，A= BC(两个过度矩阵的乘积)

(3) 求正交变换的过度矩阵(二次型的标准化(相似化方法)的正交变换)[配方法的合同矩阵就不是正交的了]

$$x^{T}Ax\stackrel{X=QY}{⟶}(QY{)}^{T}A(QY)$$

$$\begin{gathered} 二次型的变换是合同变换，(相似变换)合同变换P^{-1}AP=P^{T}AP， \\ 所以P是正交矩阵 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Ax=\lambda x \\ {A}_{3\times 3}(x_1,x_2,x_3)=\left(\begin{array}{llc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)(x_1,x_2,x_3) \\ 则(x_1,x_2,x_3)为过度矩阵 \\ \boxed{求正交矩阵还需将相互正交的向量x_1,x_2,x_3单位化} \end{gathered}$$

求正交矩阵将实对称 矩阵对角化的方法

1.求A的特征值
2.求特征值对应的特征向量
3.将 同一特征值对应的 将特征向量构成矩阵

4. 特征向量正交化后单位化

例：A={1，-2，2；-2，-2，4；2，4，-2}，特征值 λ_1=-1， λ_2= λ_3=2，解(A- λ_1i)x=0得
p_1={1,2,-2},p_2={2,0,1},p_3={0,1,1},a_1=p_1,a_2=p_2,a_3=p_3-(a_2,p_3)/(a_2,a_2)a_2

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求二次型等于零的解

一

$$\begin{gathered} 当二次型能够简单的配方时，如f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2{)}^2+2x_3^2=0 \\ \{\begin{array}{ll}{x}_1+x_2=0,x_1=-x_2& \\ x_3=0& \end{array}\Rightarrow x=C\left(\begin{array}{l}1\\ -1\\ 0\end{array}\right) \end{gathered}$$

二

$$\begin{gathered} 过度矩阵的方法，X=QY,则Q^T=Y,f(x_1,x_2,x_3)=f(y)=0, \\ {y}_i=0\Rightarrow \{\begin{array}{ll}{y}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(x_1+x_2)=0& \\ x_3=x_3=0& \end{array} \end{gathered}$$