论文阅读笔记：A Fast Triangle-Triangle Intersection Test

论文：A Fast Triangle-Triangle Intersection Test

作者：Tomas Moller
时间：2012.04.06

1.简介

计算两个三角形是否相交的算法及优化。（碰撞检测算法）

2.介绍

碰撞检测算法：

OBBTree（文章“OBBTree: A Hierarchical Structure for Rapid Interference Detection” Cottschalk 96）
sphere hierarchies (文章“Approximat ing Polyhedra with Spheres for Time-Critical Collision Detection” Hubbard 96)
BV-tress(文章“"Efficient Collision Detection Using Bounding Volume Hierarchies of k-DOPs” Klosowski 97)

3.相测试方法

• 两个三角形表示：$T_1$,$T_2$;
• 三角形点：$T_1$：$V_0^1$，$V_1^1$，$V_2^1$； $T_2$：$V_0^2$，$V_1^2$，$V_2^2$
• 三角形所在的面：${\pi }_1$,${\pi }_2$

第一步：平面${\pi }_2$方程： $N_2\cdot X+d_2=0$, $X$为平面任意一点
其中：$$N_2=(V_1^2-V_0^2)\times （V_2^2-V_0^2);$$ $$d_2=-N_2\cdot V_0^2;$$
第二步：表示$T_1$上点到${\pi }_2$的距离
$$d_{v_i^1}=N_2\cdot V_i^1+d_2,i=0,1,2;$$
第三步：判断
①当$d_{v_i^1}\ne 0，i=0,1,2$成立，且符号相同，则$T_1$位于${\pi }_2$一侧，则不会相交。同理$T_2$,${\pi }_1$也可以排除相交情况。这两个拒绝检测可以较早的排除掉许多三角形对。
②当$d_{v_i^1}=0，i=0,1,2$成立，两个三角形共平面，稍后讨论。
③排除上述两种情况，${\pi }_1$，${\pi }_2$相交与一条直线$L=O+tD$,其中$D=N_1\times N_2,为直线方向;$$O$是线上一点。且可以确定$T_1$,$T_2$均与直线相交，当相交区间有重叠时，可判断两三角形相交。两种情况如图1所示。

针对这种情况将需要计算出$T_1$在$L$上的相交标量区间，我们可以假设$V_0^1$，$V_2^1$在同侧，$V_1^1$在${\pi }_2$另一侧（其他情况①②已排除）。
三角形顶点到直线的投影：$$p_{v_i^1}=D\cdot （V_i^1-O）;$$
几何关系如图2所示。

然后我们需要计算线段参数$t_1$，有$B=\overline{V_0^1{V}_1^1}\cap L=O+t_{1}D$
用$K_i^1$表示$V_i^1$在${\pi }_2$上的投影，我们可以找到相似三角形$△V_0^{1}B{K}_0^1$和$△V_1^{1}B{K}_1^1$。所以$$t_1=p_{v_0^1}+(p_{v_1^1}-p_{v_0^1)}\frac{d_{v_0^1}}{d_{v_0^1}-d_{v_1^1}};$$
同理计算$t_2$,同理$T_2$。
如果两个区间重叠，则三角形相交。
回头看②中同面情况，将三角形投影在两三角形面积最大的轴平面，问题转换为二维的三角形重叠测试。首先测试$T_1$中所有的边是否与$T_2$中所有边相交，有相交则两三角形相交成立。否则需要排除包含情况。采用点在三角形中测试（文章"Point in Polygon Strategies"Haines 94）,$T_1$在$T_2$中以及$T_2$在$T_1$中。

4.优化

①由于整体平移不改变相交测试结果，所以计算$p_{v_i^1}$可以简化
$$p_{v_i^1}=D\cdot V_i^1，i=0,1,2;$$ $O$可以不用计算。
②我们可以将直线$L$投影到最一致的轴上（与直线$L$夹角最小的轴，即$max(|D_x|,|D_y|,|D_z|)$对应的轴），$p_{v_i^1}$计算可以进一步简化
$$p_{v_i^1}=\{\begin{array}{l}{V}_{ix}^1,if|D_x|=max(|D_x|,|D_y|,|D_z|)\\ V_{iy}^1,if|D_y|=max(|D_x|,|D_y|,|D_z|)\\ V_{iz}^1,if|D_z|=max(|D_x|,|D_y|,|D_z|)\end{array},i=0,1,2;$$
其中$V_{0x}^1$表示$V_0^1$的$x$方向分量，其它类似。

5.实现和性能

步骤：

①计算$T_2$方程；
②若$T_1$所有点在同侧，返回不相交；
③计算$T_1$方程；
④若$T_2$所有点在同侧，返回不相交；
⑤计算相交直线，并投影到最大轴
⑥计算每个三角形相交区间
⑦区间相交
同面情况很少见，可以放到后面处理。
注意事项：
①点在面上的判断，需要引入固定小值EPSILON($ϵ$)，当距离小于该值是认为，点在面上。
②根据情况判断是否需要考虑三角形退化为直线和点的情况，若需要，不得不优先考虑退化情况。
性能：
Oxygen VR-platform中内部碰撞检测包使用了这个方法。