[基因遗传算法]原理思想和python代码的结合理解之(一) :单变量

读《遗传算法的Python实现（通俗易懂）》佳文的思考与笔记整理.

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我们拥有一个目标函数$y=10\cdot sin(5x)+7\cdot cos(4x)$

def aim(x):return 10*np.sin(5*x)+7*np.cos(4*x)

约束范围(这里是定义域):$x\in [0,5]$
我们使用基因遗传算法求解$y$的最大值.

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一. 基因(DNA)体现在二进制编码

首先知道十进制(整数)与二进制是一一对应的可转换的关系.我们的基因形式则为二进制数据.

• bin(2**9) 表示$2^9=512$的二进制表达形式为 '0b1000000000',取0b后面的数字,共有10位表示.
• bin(5)=0b101.整数5可以用二进制101代替.
• 我们的定义域是一个连续的区间,最优解可能不是整数而是小数.因此我们采用更长的基因(如10个DNA)可以表达更大的整数,然后缩小到$[0,5]$范围内,补充[0,5]内的小数.
• 因此数据的编码和解码公司可以参考.
• 在这里(10个DNA的情况下),设计的 decode(解码)函数为

def decode(pop):
   return   pop.dot(2 ** np.arange(DNA_SIZE)[::-1]) *(X_max-X_min)/ float(2**DNA_SIZE-1) +X_min
# DNA_size=10

二、个体与种群

多个基因构成一个个体.
多个个体构成一个种群.
举例假设:种群的数量为4,每个个体️5个基因.则创造随机的初始种群.

pop_size=4
DNA_SIZE=5
pop = np.random.randint(2, size=(pop_size, DNA_SIZE))

pop的输出为(举例,随意random下. )

array([[1, 1, 1, 1, 0],# 物种1的基因
       [0, 0, 0, 0, 0],
       [1, 1, 1, 0, 0],
       [1, 1, 0, 1, 0]])# 物种4的基因

三、物竞天择,适者生存

A. 计算个体的适应度

$x$个体(含多个DNA)–>decode解码为$x^{\prime }$–>aim目标函数求的$y$

# pred=[y1,y2,...,yn] 为pop的目标函数值
def fitnessget(pred):
    return pred + 1e-3 - np.min(pred)

对于目标函数值pred同时去掉最小值np.min(pred),则pred中最小值为0.添加上$1e-3=0.01$,防止列表中数据为0,报错.

• 适应度的计算与目标结果相关
• 求最大值时,其结果越高则适应度越高
• 求最小值时,其结果越低则适应度越高

B. 赌命运,适应度越高生存的几率越大

但这并不意味着适应度高,一定会生存下来,因此会存在一定的赌运气生存下来的情况.即是物竞天择的原理.这里的赌运气采用赌轮盘的方法.

def select(pop, fitness):           
    # print(abs(fitness))
    # print(fitness.sum())
    idx = np.random.choice(np.arange(pop_size), size=pop_size, replace=True,p=fitness/fitness.sum())
    # print(idx)
    return pop[idx]

C. 在没交叉没变异之前的情况,举例

依旧以 种群为4,基因为5 为例.

• 1号基因为1次,2号基因为2次,3号基因消失了,4号基因为1次.
• 个体总量没有发生变化，但适应度高的个体被更多的保留了下来
• 迭代下去，我们就会得到所谓的纯种个体组成的种群
• 想要适应度最高的而不是纯种个体中最优的个体

四、交叉和突变

注意:这里的交叉和变异的函数是针对基因二进制的某种方式.

A. 交叉函数

def change(parent, pop):
    if np.random.rand() < PC:    #交叉
        i_ = np.random.randint(0, pop_size, size=1)
        # print(parent)
        cross_points = np.random.randint(0, 2, size=DNA_SIZE).astype(np.bool)
        # print(np.where(cross_points==True))
        # print(cross_points)
        parent[cross_points] = pop[i_, cross_points]
        # print(parent)
    return parent 

• 交叉概率: PC=0.6(假设)
• 交叉点:个体10个基因(DNA),随机(在每个基因上)是否生成交叉点,结果为:cross_points
• 在种群中,为parent 选择交叉的另一个pop[i_]
• 将pop[i_]上的交叉的索引cross-points赋值给parent的cross_points的索引上

B. 变异函数

def variation(child,pm):                  #变异
    for point in range(DNA_SIZE):
        if np.random.rand() < PM:
            child[point] = 1 if child[point] == 0 else 0
    # print(child)
    return child

• 变异概率:PM=0.1(假设)
• 个体的每个基因,都有PM的变异概率
• 变异:0–>1 或1–>0

五、种群繁衍(循环迭代),适应性越来越强

1. 定义初始种群(查看二): pop = np.random.randint(2, size=(pop_size, DNA_SIZE))
2. 繁衍生息(进行循环)

A: 适者生存,计算目标值和适应度

1. 种群pop—解码–>X_value
2. 获取目标值–> F_values
3. 获得适应度–> fitness

B:记录目标值最好的物种及其DNA

1. i=0(初次循环时), 记录最好的物种为Max其基因为max_DNA
2. 更新最好的物种及其基因
3. 每迭代10次, 输出当前的最好的物种以及基因,查看

C: 物竞天择

1. 赌命运生存,(select函数)
2. 种群复制副本pop_copy用于交叉配对的

D: 交叉产生新子,新子有概率变异
每个来自于pop的物种child

1. 与pop_copy中的随机一个交叉(change函数)产生孩子child
2. 孩子child可能会产生变异(variation函数)

3. 迭代结束后,输出目标值最好的物种及其DNA

六、主程序代码

定义变量

# 定义全局变量
pop_size = 10  # 种群数量
PC=0.6 # 交叉概率
PM=0.01 #变异概率
X_max=5    #最大值 
X_min=0     #最小值,与x_max共同构成x的定义域范围
DNA_SIZE=10  #DNA长度与保留位数有关,2**10 当前保留3位小数点
N_GENERATIONS=1000

主程序

pop = np.random.randint(2, size=(pop_size, DNA_SIZE))


# print(pop)
for i in range(N_GENERATIONS):
    #解码
    # print(pop)
    X_value= decode(pop)
    
    #获取目标函数值
    F_values = aim(X_value)
    
    #获取适应值
    fitness = fitnessget(F_values)
    # print(fitness)
    if(i==0):
        Max=np.max(F_values)
        max_DNA = pop[np.argmax(F_values), :]
        
    if(Max<np.max(F_values)):
        Max=np.max(F_values)
        max_DNA=pop[np.argmax(F_values), :]
        
    if (i % 10 == 0):
        print("Most fitted value and X: \n",
              np.max(F_values), decode(pop[np.argmax(F_values), :]))
    #选择
    pop = select(pop,fitness)
    # print(pop)
    pop_copy = pop.copy()
    # print(pop_copy)
    for parent in pop:
        # print(parent)
        child = change(parent,pop_copy)
        child = variation(child,PM)
        # print(child)
        parent[:] = child
print("目标函数最大值为：",Max)
print("其DNA值为：",max_DNA)
print("其X值为：",decode(max_DNA))

结果展示
运行一:

i: 0 Most fitted value and X: 
 7.384343376804747 2.7126099706744866
i: 10 Most fitted value and X: 
 13.372066639693031 0.21994134897360704
i: 20 Most fitted value and X: 
 15.560237189300736 1.4809384164222874
i: 30 Most fitted value and X: 
 15.560237189300736 1.4809384164222874
i: 40 Most fitted value and X: 
 16.975412816482176 1.5591397849462365
i: 50 Most fitted value and X: 
 16.975412816482176 1.5591397849462365
----------
目标函数最大值为： 16.975412816482176
其DNA值为： [0 1 0 0 1 1 1 1 1 1]
其X值为： 1.5591397849462365

运行二:

i: 0 Most fitted value and X: 
 11.538584764492317 1.7497556207233627
i: 10 Most fitted value and X: 
 13.37062486072224 2.9227761485826003
i: 20 Most fitted value and X: 
 13.374183016652838 2.9178885630498534
i: 30 Most fitted value and X: 
 13.374183016652838 2.9178885630498534
i: 40 Most fitted value and X: 
 13.374183016652838 2.9178885630498534
i: 50 Most fitted value and X: 
 13.374183016652838 2.9178885630498534
 ---------
 i: 240 Most fitted value and X: 
 13.374183016652838 2.9178885630498534
i: 250 Most fitted value and X: 
 15.364515002303772 1.6666666666666667
i: 260 Most fitted value and X: 
 16.943525799534186 1.5884652981427174
i: 270 Most fitted value and X: 
 16.999359344557767 1.5689149560117301
 --------
 i: 470 Most fitted value and X: 
 16.999359344557767 1.5689149560117301
i: 480 Most fitted value and X: 
 16.943525799534186 1.5884652981427174
i: 490 Most fitted value and X: 
 16.970440089469758 1.5835777126099706
i: 500 Most fitted value and X: 
 16.970440089469758 1.5835777126099706
i: 510 Most fitted value and X: 
 16.991707506136905 1.5640273704789833
i: 520 Most fitted value and X: 
 16.999359344557767 1.5689149560117301
 -------
 i: 590 Most fitted value and X: 
 16.999359344557767 1.5689149560117301
i: 600 Most fitted value and X: 
 16.998364271158337 1.573802541544477
 ----------
 i: 990 Most fitted value and X: 
 16.998364271158337 1.573802541544477
目标函数最大值为： 16.999359344557767
其DNA值为： [0 1 0 1 0 0 0 0 0 1]
其X值为： 1.5689149560117301

总结:

• 第一次运行到50次就接近了最优值,而第二次运行了600次接近了最优质.
• 两次最优解x都近似在1.6附近.最优值y近似在16.99上.可见该方法具有一定的稳定性和准确性.

应用思考:

1. 这里只有一个变量$x$,轻松表示其基因.如果存在多个变量$x_1,x_2,\cdots ,x_n$, 那么其基因如何表示呢?-----基因除了二进制还有多种编码方式
2. 这里约束(定义域)非常简单.只有大小的范围限制. 当解决最优规划问题的时候.会存在凸性约束.那么其约束如何表示呢?
3. 适应度的设计问题.这里可以看出适应度与目标值时直线关系(鞋履$k=1$).那么可否根据实际问题,重新设计 适应度的表达式呢?(比如,对数关系)
4. 每一次,都需要自行编写代码嘛?(这个接下来可以解答)

七、使用库scikit-opt解决

from sko.GA import GA
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt

函数讲解

GA(func, n_dim, size_pop=50, max_iter=200, prob_mut=0.001, lb=-1, ub=1, constraint_eq=(), 
constraint_ueq=(), precision=1e-07, early_stop=None)
 |  
 |  genetic algorithm
 |  
 |  Parameters
 |  ----------------
 |  func : function
 |      The func you want to do optimal 优化的目标函数
 |  n_dim : int
 |      number of variables of func目标函数的变量
 |  lb : array_like
 |      The lower bound of every variables of func每个变量的下限
 |  ub : array_like
 |      The upper bound of every variables of func每个变量的上限
 |  constraint_eq : tuple,
 |      equal constraint 等式约束
 |  constraint_ueq : tuple,
 |      unequal constraint不等式约束
 |  precision : array_like
 |      The precision of every variables of func 函数每个变量的精度
 |  size_pop : int
 |      Size of population种群数量
 |  max_iter : int
 |      Max of iter迭代次数
 |  prob_mut : float between 0 and 1
 |      Probability of mutation 突变概率

A. 使用GA解决上面问题

def aim(p):
    x= p[0]
    return -(10*np.sin(5*x)+7*np.cos(4*x))

注意到:

• 这里的x=p[0],也就是第一个变量的目标函数.如果不加这一行.运行会有广播机制的报错问题.
• 此外原目标函数为求最大值,而GA的默认时求最小值.因此,则需要加一个负号-

ga = GA(func=aim, n_dim=1, size_pop=10, max_iter=1000, 
lb=0, ub=5, precision=1e-7) 
best_x, best_y = ga.run()

# `GA`是一个class类,因此要先实例化(第一行),然后用`run`函数执行.

x = np.arange(0,5,0.01)
y = (10*np.sin(5*x)+7*np.cos(4*x))
fig,ax=plt.subplots()
ax.plot(x,y)
ax.scatter(best_x,-best_y,marker='*',c="red",s=200)# 红色星号表示求的最优解
plt.show()

结果
运行一:

运行二:

运行三:

总结: 从蓝色曲线中可以看到,具有多个极值点.因此,结果有三种以上了.但是其目标函数值都是比较优秀的.切红色星星都是位于极值点处.可以说算法比较准确了.

B.使用AG解决一个单极点问题

def schaffer(p):
    '''
    This function has plenty of local minimum, with strong shocks
    global minimum at (0,0) with value 0
    该函数具有大量的局部最小值，具有强烈的冲击
    全局最小值为（0,0），值为0
    '''
    x= p[0]
    
    return 5*np.sin(np.log(x))
   
from sko.GA import GA
ga = GA(func=schaffer, n_dim=1, size_pop=100, max_iter=800, 
lb=0, ub=10, precision=1e-7)
best_x, best_y = ga.run()
print('best_x:', best_x, '\n', 'best_y:', best_y)
x = np.arange(0,10,0.01)
y = 5*np.sin(np.log(x))
fig,ax=plt.subplots()
ax.plot(x,y)
ax.scatter(best_x,best_y,marker='*',c="red",s=200)# 红色星号表示求的最优解
plt.show()

结果: