机器人学导论 二、正运动学，MDH法
机器人学导论 二、正运动学
- 前言
- 关节与连杆
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- 编号
- 连杆参数
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- 连杆的描述
- 连杆连接的描述
- 关节变量
- 连杆坐标系
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- 中间连杆坐标系建立
- 首尾连杆坐标系建立
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- 首坐标系
- 尾坐标系
- 连杆参数与连杆坐标系
- 连杆变换
- MDH法使用步骤
- 后记
前言
本篇学习机械臂的正运动学，MDH法。
关节与连杆
关节joint，连杆link，是机械臂的基本组成结构。
关节包括转动关节和移动关节，一般仅有一个自由度。
一个关节把相邻两连杆连接，n个关节把n+1个连杆连接起来，具有n个自由度。
编号
把固定基座作为第0个连杆，机械臂末端的连杆作为第n个连杆。
连杆参数
连杆的描述
两个相邻关节轴之间的公垂线的长度，称为连杆的长度。
两个相邻关节轴之间形成的角度，称为连杆的转角。
上图中，连杆i-1的长度是其近端关节轴i-1与远端关节轴i之间的公垂线长度 a i − 1 a_{i-1} ai−1
连杆i-1的转角是其近端关节轴i-1与远端关节轴i形成的角度 α i − 1 \alpha_{i-1} αi−1，至于角度的正负号，可以根据后面建立坐标系时再确定。
连杆连接的描述
两个相邻连杆之间的距离，称为连杆偏距。
两个相邻连杆绕公共关节轴旋转的夹角，称为关节角。
上图中，关节i是连杆i-1和连杆i的公共关节。
由于实际的连杆是弯曲的，可以将公垂线段 a i − 1 a_{i-1} ai−1和 a i a_i ai 看作代替曲连杆的直连杆i-1,i。
直连杆i-1,i之间的距离是关节i的连杆偏距 d i d_i di
直连杆i-1沿关节轴i旋转到直连杆i的角度是关节角 θ i \theta_i θi
关节变量
一个连杆可以使用上面的连杆长度、连杆转角、连杆偏距、关节角四个参数确定。
对于转动关节，关节角可变，另三个参数不变。
对于移动关节，连杆偏距可变，另三个参数不变。
可变的参数称为关节变量。
连杆坐标系
连杆坐标系用于描述相邻连杆之间的相对位置关系。
连杆坐标系编号与连杆编号相同，称为 { i } \{i\} {i}。
中间连杆坐标系建立
为连杆i建立坐标系：
以关节轴i作为Z轴，以连杆i与Z轴的交点作为原点，以连杆i作为X轴指向关节轴i+1，以右手定则确定Y轴。
例外：如果连杆i的长度 a i = 0 a_i=0 ai=0（此时连杆i,i+1的Z轴相交），以交点作为原点，以两个Z轴所在平面的垂线作为X轴，方向可以有两种选择，而 α i \alpha_i αi的符号就由X轴方向决定。
每个坐标轴的建立都要满足右手定则。
上图中，可以按这个顺序来建立坐标系：
首先找到所有的关节轴i-1,i
然后确定坐标系 { i − 1 } \{i-1\} {i−1}，以关节轴作为 Z ^ i − 1 \hat Z_{i-1} Z^i−1，直连杆i-1作为 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1，再右手定则确定 Y ^ i − 1 \hat Y_{i-1} Y^i−1。
然后确定坐标系 { i } \{i\} {i}。
首尾连杆坐标系建立
对于首尾连杆0,n，有特殊的建系方法。
首坐标系
坐标系 { 0 } \{0\} {0}在基座上，一般作为参考系。
第一个关节变量为0时，规定坐标系 { 0 } \{0\} {0}于 { 1 } \{1\} {1}重合。
当第一个关节为转动关节， d 1 = 0 d_1=0 d1=0;第一个关节为移动关节， θ 1 = 0 \theta_1=0 θ1=0
尾坐标系
坐标系 { n } \{n\} {n}的原点和x轴方向可以任意选取，但要尽量使得连杆参数为0。
连杆参数与连杆坐标系
按照上面的建系方法，可以把连杆参数重新定义：
- a i a_i ai连杆长度：沿 X ^ i \hat X_i X^i，从 Z ^ i \hat Z_i Z^i移动到 Z ^ i + 1 \hat Z_{i+1} Z^i+1的距离
- α i \alpha_i αi连杆扭转角：绕 X ^ i \hat X_i X^i轴，把 Z ^ i \hat Z_i Z^i旋转到 Z ^ i + 1 \hat Z_{i+1} Z^i+1的角度
- d i d_i di连杆偏距：沿 Z ^ i \hat Z_i Z^i，从 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1移动到 X ^ i 1 \hat X_{i1} X^i1的距离
- θ i \theta_i θi关节角：绕 Z ^ i \hat Z_i Z^i轴，把 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1旋转到 X ^ i \hat X_{i} X^i的角度
设定 a i > 0 a_i>0 ai>0，其它参数可正可负。
上面建立连杆坐标系和连杆参数的方式称为MDH法(Modified Denavit–Hartenberg)。
DH法建立的坐标系并不是唯一的。
连杆变换
连杆参数可用于相邻杆之间的相对位姿计算。
上图中，考虑坐标系 { i − 1 } , { i } \{i-1\},\{i\} {i−1},{i}之间的变换 i − 1 i T ^i_{i-1}T i−1iT，建立中间坐标系 { P } , { Q } , { R } \{P\},\{Q\},\{R\} {P},{Q},{R}，则有：
i i − 1 T = R i − 1 T Q R T P Q T i P T ^{i-1}_iT = \ ^{i-1}_RT \ ^R_{Q}T \ ^Q_PT \ ^P_{i}T ii−1T= Ri−1T QRT PQT iPT
上面的变换，可以看作是把 X ^ i \hat X_i X^i变换为 X ^ i − 1 \hat X_{i-1} X^i−1，则有：
i i − 1 T = R X ( α i − 1 ) D X ( a i − 1 ) R Z ( θ i ) D Z ( d i ) ^{i-1}_iT = R_X(\alpha_{i-1})D_X(a_{i-1})R_Z(\theta_i)D_Z(d_i) ii−1T=RX(αi−1)DX(ai−1)RZ(θi)DZ(di)
或者将每个中间坐标系的变换都写出来：
i P T = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 d i 0 0 0 1 ] P Q T = [ cos θ 1 − sin θ 1 0 0 sin θ 1 cos θ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ] Q R T = [ 1 0 0 0 0 1 0 a i − 1 0 0 1 0 0 0 0 1 ] R i − 1 T = [ 1 0 0 0 0 cos α i − 1 − sin α i − 1 0 0 sin α i − 1 cos α i − 1 0 0 0 0 1 ] ^P_iT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & d_i \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^Q_PT = \begin{bmatrix} \cos \theta_1 & -\sin \theta_1 & 0 & 0 \\ \sin \theta_1 & \cos \theta_1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^R_QT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a_{i-1} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ \ ^{i-1}_RT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha_{i-1} & -\sin \alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & \sin \alpha_{i-1} & \cos \alpha_{i-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \\ \quad \\ iPT=⎣⎢⎢⎡10000100001000di1⎦⎥⎥⎤ PQT=⎣⎢⎢⎡cosθ1sinθ100−sinθ1cosθ10000100001⎦⎥⎥⎤ QRT=⎣⎢⎢⎡1000010000100ai−101⎦⎥⎥⎤ Ri−1T=⎣⎢⎢⎡10000cosαi−1sinαi−100−sinαi−1cosαi−100001⎦⎥⎥⎤
得到 i i − 1 T ^{i-1}_iT ii−1T的一般形式：
MDH法使用步骤
- 找到所有关节轴；
- 按顺序依次建立中间连杆的坐标系；
- 确定首尾坐标系；
- 写出DH参数；
- 计算正运动学矩阵。
后记
本篇是机器人学中的正运动学，采用的是MDH法。
后续会有Matlab示例编程。