燃烧卡路里-体重变化(黑盒建模)的建模与PID调节

d# Introduction
大多数人常为自己的体重而担忧，诸多APP(如KEEP)也根据不同的用户而进行饮食量化控制。

其实，当我们学完自动控制原理(经典控制)后，可以通过PID控制，对一个体重变化这一模型进行调节。

本实验是关于DR_CAN[自动控制原理(经典控制)(https://www.bilibili.com/video/BV1W441167qn)的进一步研究。

由于作者本身不是学自动化出身的，文中出现错误望包含指正！

Modeling

建模粗糙分类

（1）白盒建模法。了解被建模对象的物理特性，通过对系统理论层次的了解推导出数学方程。（所有的数学算式都和物理公式对应，一般都为微分方程，因为微分方程可以表征物体随着时间的变化规律）。
（2）黑盒建模法。通过对对象的实测数据推导出数学公式，当我们很难去用一直的物理规律去描述一个对象时，往往通过向对象加输入得出对象输出规律。在分析比较复杂的系统时候往往采用黑盒建模法。

我们在网上搜索，有很多这样的体重变化的模型，所以这里我们直接选取一个比较靠谱的Mifflin St.jeor公式。当然你要问这个公式怎么来的，笔者估计应该是通过黑盒建模法得到的。

建模过程

首先我们设置一些基本量：

热量输入：E_i  (input)
热量输出：E_e  (expenditure)
净热量：E_n = E_i - E_e   (net)
基础代谢率(Basal Metabolic Rate)：p ，心跳啥的
基础代谢率系数：α
   其中 α=1.3 for 轻体力劳动
   		α=1.5 for 中体力劳动
   		α=1.9 for 重体力劳动

单位：Kcal(千卡)
其中7000Kcal≈1KG

Mifflin St.jeor公式比较实用，用以替代p

p = 10m + 6.25h -5a + s
p: BMR(KCal)
m: 体重(KG)
h: 身高(cm)
a: 年龄(year)
s: 性别调整参数
	男：5
	女：-161 

设系统输入u = E_i - E_e - αc代入

这里直接给出传递函数的结果：

Experiment

无扰动模型

我们根据这个传递函数，在simulink中搭建模型如下：

笔者用的Matlab 2018b版本，关于传递函数，是在带的 Varying Transfer Function，低版本可能没有，当然也可以自己搭建。这里就不贴源文件了，大家可以自己动手搭建尝试一下。

关于参数选择，以自己为例。由于疫情期间，有些长肉，体重设为80KG。日常摄入查阅资料定位2500KCal，平时喜欢打篮球，篮球一小时大概能消耗500KCal，那也不能天天打，二天一次，取个平均数每天250KCal。平时在家也没啥体力活，α取1.3，其他的根据自身情况赋值。得到以下动态响应曲线

图像收敛到72KG多一点，这大概是我在学校的体重，还算比较准确。

有扰动模型

上述问题是一个开环控制，实在理想条件下(日复一日规律)的收敛情况。作为一个没有毅力的人，很多时候会收到环境的扰动，比如下雨天没有运动，周末跟朋友出去吃了榴莲火锅等。为了能够更准确地模型，接下来就是给模型添加扰动，同时设计成为一个闭环系统能够通过反馈调节自己。

比例调节(P调节)

设置一个目标体重

r = 65KG
则误差e = r - m(t)
u = E_i - E_e
D = -αc
c = 6.25h - 5a + s

注意这里的输入和扰动有所变动。
为了方便直接手绘了···

为了能让系统稳定，另P_2<0，解的k_p>-10α=13。
下图是在simulink中搭建，其中我们取不同的k值。

调节Kp的增益，红色为200，蓝色为20，黄色为目标体重参考线。

当Kp < -13 时，认为该系统能够收敛。其Bode图和根轨迹如下。


这个模型里可以把Kp看成一个“决心因子”或者“自控因子”。Kp越大，表示你减小差距的愿望越强烈，采取的行动越多。根据系统的根我们知道Kp+10α两个参数共同影响着体重的输出结果。于是当你的决心Kp在代谢率系数10α的承受范围内，即Kp>-13时，体重总是可控的，而且愿望越强烈，就能越快达到目标。
Kp>0说明你比较节制，只要体重超过预期，就会采取行动减肥；
Kp=0说明you just dont care，不会因为体重和预期有差距而产生任何行动，任由干扰项身体代谢率 do the job。
Kp<0（比如-5）说明你就算体重超过预期仍然快乐养膘，这时只要你的快乐程度没有战胜基础代谢率（系统自身的稳定性储备），那么体重虽然慢但仍然早晚可以依靠自然代谢率降下来。但是如果你看到自己越胖约开心，主观上加大力度继续变胖，自控因子Kp<-13，身体代谢率也救不了你的时候，你的体重就会疯狂爆炸。

比例积分调节(PI调节)

在实际问题中，我们不可能无限增大Kp来使得自己的体重达到目标，这里我们引入积分项。

致敬DR_CAN！ 后文待续。