决策树(decision tree)
决策树构建：特征选择、决策树的生成和决策树的修剪。
特征选择
特征选择在于选取对训练数据具有分类能力的特征。这样可以提高决策树学习的效率，如果利用一个特征进行分类的结果与随机分类的结果没有很大差别，则称这个特征是没有分类能力的。经验上扔掉这样的特征对决策树学习的精度影响不大。通常特征选择的标准是信息增益(information gain)或信息增益比.
什么是信息增益呢？在划分数据集之后信息发生的变化称为信息增益，知道如何计算信息增益，我们就可以计算每个特征值划分数据集获得的信息增益，获得信息增益最高的特征就是最好的选择。
熵
熵定义为信息的期望值。在信息论与概率统计中，熵是表示随机变量不确定性的度量
from math import log
"""
函数说明:创建测试数据集
Parameters:
无
Returns:
dataSet - 数据集
labels - 分类属性
"""
def createDataSet():
dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'no'], # 数据集
[0, 0, 0, 1, 'no'],
[0, 1, 0, 1, 'yes'],
[0, 1, 1, 0, 'yes'],
[0, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 1, 'no'],
[1, 1, 1, 1, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 2, 'yes'],
[2, 0, 0, 0, 'no']]
labels = ['不放贷', '放贷'] # 分类属性
return dataSet, labels # 返回数据集和分类属性
"""
函数说明:计算给定数据集的经验熵(香农熵)
Parameters:
dataSet - 数据集
Returns:
shannonEnt - 经验熵(香农熵)
"""
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntires = len(dataSet) # 返回数据集的行数
labelCounts = {} # 保存每个标签(Label)出现次数的字典
for featVec in dataSet: # 对每组特征向量进行统计
currentLabel = featVec[-1] # 提取标签(Label)信息
if currentLabel not in labelCounts.keys(): # 如果标签(Label)没有放入统计次数的字典,添加进去
labelCounts[currentLabel] = 0
labelCounts[currentLabel] += 1 # Label计数
shannonEnt = 0.0 # 经验熵(香农熵)
for key in labelCounts: # 计算香农熵
prob = float(labelCounts[key]) / numEntires # 选择该标签(Label)的概率
shannonEnt -= prob * log(prob, 2) # 利用公式计算
return shannonEnt # 返回经验熵(香农熵)
if __name__ == '__main__':
dataSet, features = createDataSet()
print(dataSet)
print(calcShannonEnt(dataSet))信息增益
信息增益是相对于特征而言的，信息增益越大，特征对最终的分类结果影响也就越大。
条件熵
条件熵H(Y|X)表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性，随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵(conditional entropy)H(Y|X)，定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望：
信息增益
特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差：
一般地，熵H(D)与条件熵H(D|A)之差称为互信息(mutual information)。决策树学习中的信息增益等价于训练数据集中类与特征的互信息。
from math import log
"""
函数说明:计算给定数据集的经验熵(香农熵)
Parameters:
dataSet - 数据集
Returns:
shannonEnt - 经验熵(香农熵)
"""
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntires = len(dataSet) # 返回数据集的行数
labelCounts = {} # 保存每个标签(Label)出现次数的字典
for featVec in dataSet: # 对每组特征向量进行统计
currentLabel = featVec[-1] # 提取标签(Label)信息
if currentLabel not in labelCounts.keys(): # 如果标签(Label)没有放入统计次数的字典,添加进去
labelCounts[currentLabel] = 0
labelCounts[currentLabel] += 1 # Label计数
shannonEnt = 0.0 # 经验熵(香农熵)
for key in labelCounts: # 计算香农熵
prob = float(labelCounts[key]) / numEntires # 选择该标签(Label)的概率
shannonEnt -= prob * log(prob, 2) # 利用公式计算
return shannonEnt # 返回经验熵(香农熵)
"""
函数说明:创建测试数据集
Parameters:
无
Returns:
dataSet - 数据集
labels - 分类属性
"""
def createDataSet():
dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'no'], # 数据集
[0, 0, 0, 1, 'no'],
[0, 1, 0, 1, 'yes'],
[0, 1, 1, 0, 'yes'],
[0, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 1, 'no'],
[1, 1, 1, 1, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 2, 'yes'],
[2, 0, 0, 0, 'no']]
labels = ['不放贷', '放贷'] # 分类属性
return dataSet, labels # 返回数据集和分类属性
"""
函数说明:按照给定特征划分数据集
Parameters:
dataSet - 待划分的数据集
axis - 划分数据集的特征
value - 需要返回的特征的值
"""
def splitDataSet(dataSet, axis, value):
retDataSet = [] # 创建返回的数据集列表
for featVec in dataSet: # 遍历数据集
if featVec[axis] == value:
reducedFeatVec = featVec[:axis] # 去掉axis特征
reducedFeatVec.extend(featVec[axis + 1:]) # 将符合条件的添加到返回的数据集
retDataSet.append(reducedFeatVec)
return retDataSet # 返回划分后的数据集
"""
函数说明:选择最优特征
Parameters:
dataSet - 数据集
Returns:
bestFeature - 信息增益最大的(最优)特征的索引值
"""
def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
numFeatures = len(dataSet[0]) - 1 # 特征数量
baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet) # 计算数据集的香农熵
bestInfoGain = 0.0 # 信息增益
bestFeature = -1 # 最优特征的索引值
for i in range(numFeatures): # 遍历所有特征
# 获取dataSet的第i个所有特征
featList = [example[i] for example in dataSet]
uniqueVals = set(featList) # 创建set集合{},元素不可重复
newEntropy = 0.0 # 经验条件熵
for value in uniqueVals: # 计算信息增益
subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value) # subDataSet划分后的子集
prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet)) # 计算子集的概率
newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet) # 根据公式计算经验条件熵
infoGain = baseEntropy - newEntropy # 信息增益
print("第%d个特征的增益为%.3f" % (i, infoGain)) # 打印每个特征的信息增益
if (infoGain > bestInfoGain): # 计算信息增益
bestInfoGain = infoGain # 更新信息增益，找到最大的信息增益
bestFeature = i # 记录信息增益最大的特征的索引值
return bestFeature # 返回信息增益最大的特征的索引值
if __name__ == '__main__':
dataSet, features = createDataSet()
print("最优特征索引值:" + str(chooseBestFeatureToSplit(dataSet)))
决策树构建
ID3算法
ID3算法的核心是在决策树各个结点上对应信息增益准则选择特征，递归地构建决策树。具体方法是：从根结点(root node)开始，对结点计算所有可能的特征的信息增益，选择信息增益最大的特征作为结点的特征，由该特征的不同取值建立子节点；再对子结点递归地调用以上方法，构建决策树；直到所有特征的信息增益均很小或没有特征可以选择为止
from math import log
import operator
"""
函数说明:计算给定数据集的经验熵(香农熵)
Parameters:
dataSet - 数据集
Returns:
shannonEnt - 经验熵(香农熵)
"""
def calcShannonEnt(dataSet):
numEntires = len(dataSet) # 返回数据集的行数
labelCounts = {} # 保存每个标签(Label)出现次数的字典
for featVec in dataSet: # 对每组特征向量进行统计
currentLabel = featVec[-1] # 提取标签(Label)信息
if currentLabel not in labelCounts.keys(): # 如果标签(Label)没有放入统计次数的字典,添加进去
labelCounts[currentLabel] = 0
labelCounts[currentLabel] += 1 # Label计数
shannonEnt = 0.0 # 经验熵(香农熵)
for key in labelCounts: # 计算香农熵
prob = float(labelCounts[key]) / numEntires # 选择该标签(Label)的概率
shannonEnt -= prob * log(prob, 2) # 利用公式计算
return shannonEnt # 返回经验熵(香农熵)
"""
函数说明:创建测试数据集
Parameters:
无
Returns:
dataSet - 数据集
labels - 特征标签
"""
def createDataSet():
dataSet = [[0, 0, 0, 0, 'no'], # 数据集
[0, 0, 0, 1, 'no'],
[0, 1, 0, 1, 'yes'],
[0, 1, 1, 0, 'yes'],
[0, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 0, 'no'],
[1, 0, 0, 1, 'no'],
[1, 1, 1, 1, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[1, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 2, 'yes'],
[2, 0, 1, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 1, 'yes'],
[2, 1, 0, 2, 'yes'],
[2, 0, 0, 0, 'no']]
labels = ['年龄', '有工作', '有自己的房子', '信贷情况'] # 特征标签
return dataSet, labels # 返回数据集和分类属性
"""
函数说明:按照给定特征划分数据集
Parameters:
dataSet - 待划分的数据集
axis - 划分数据集的特征
value - 需要返回的特征的值
Returns:
无
"""
def splitDataSet(dataSet, axis, value):
retDataSet = [] # 创建返回的数据集列表
for featVec in dataSet: # 遍历数据集
if featVec[axis] == value:
reducedFeatVec = featVec[:axis] # 去掉axis特征
reducedFeatVec.extend(featVec[axis + 1:]) # 将符合条件的添加到返回的数据集
retDataSet.append(reducedFeatVec)
return retDataSet # 返回划分后的数据集
"""
函数说明:选择最优特征
Parameters:
dataSet - 数据集
Returns:
bestFeature - 信息增益最大的(最优)特征的索引值
"""
def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
numFeatures = len(dataSet[0]) - 1 # 特征数量
baseEntropy = calcShannonEnt(dataSet) # 计算数据集的香农熵
bestInfoGain = 0.0 # 信息增益
bestFeature = -1 # 最优特征的索引值
for i in range(numFeatures): # 遍历所有特征
# 获取dataSet的第i个所有特征
featList = [example[i] for example in dataSet]
uniqueVals = set(featList) # 创建set集合{},元素不可重复
newEntropy = 0.0 # 经验条件熵
for value in uniqueVals: # 计算信息增益
subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value) # subDataSet划分后的子集
prob = len(subDataSet) / float(len(dataSet)) # 计算子集的概率
newEntropy += prob * calcShannonEnt(subDataSet) # 根据公式计算经验条件熵
infoGain = baseEntropy - newEntropy # 信息增益
# print("第%d个特征的增益为%.3f" % (i, infoGain)) #打印每个特征的信息增益
if (infoGain > bestInfoGain): # 计算信息增益
bestInfoGain = infoGain # 更新信息增益，找到最大的信息增益
bestFeature = i # 记录信息增益最大的特征的索引值
return bestFeature # 返回信息增益最大的特征的索引值
"""
函数说明:统计classList中出现此处最多的元素(类标签)
Parameters:
classList - 类标签列表
Returns:
sortedClassCount[0][0] - 出现此处最多的元素(类标签)
"""
def majorityCnt(classList):
classCount = {}
for vote in classList: # 统计classList中每个元素出现的次数
if vote not in classCount.keys(): classCount[vote] = 0
classCount[vote] += 1
sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key=operator.itemgetter(1), reverse=True) # 根据字典的值降序排序
return sortedClassCount[0][0] # 返回classList中出现次数最多的元素
"""
函数说明:创建决策树
Parameters:
dataSet - 训练数据集
labels - 分类属性标签
featLabels - 存储选择的最优特征标签
Returns:
myTree - 决策树
"""
def createTree(dataSet, labels, featLabels):
classList = [example[-1] for example in dataSet] # 取分类标签(是否放贷:yes or no)
if classList.count(classList[0]) == len(classList): # 如果类别完全相同则停止继续划分
return classList[0]
if len(dataSet[0]) == 1 or len(labels) == 0: # 遍历完所有特征时返回出现次数最多的类标签
return majorityCnt(classList)
bestFeat = chooseBestFeatureToSplit(dataSet) # 选择最优特征
bestFeatLabel = labels[bestFeat] # 最优特征的标签
featLabels.append(bestFeatLabel)
myTree = {bestFeatLabel: {}} # 根据最优特征的标签生成树
del (labels[bestFeat]) # 删除已经使用特征标签
featValues = [example[bestFeat] for example in dataSet] # 得到训练集中所有最优特征的属性值
uniqueVals = set(featValues) # 去掉重复的属性值
for value in uniqueVals: # 遍历特征，创建决策树。
subLabels = labels[:]
myTree[bestFeatLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataSet, bestFeat, value), subLabels, featLabels)
return myTree
if __name__ == '__main__':
dataSet, labels = createDataSet()
featLabels = []
myTree = createTree(dataSet, labels, featLabels)
print(myTree)参考文献
机器学习实战教程（二）：决策树基础篇之让我们从相亲说起 (cuijiahua.com)
机器学习实战教程（三）：决策树实战篇之为自己配个隐形眼镜 (cuijiahua.com)