最优化理论与算法期末试题_最优化原理和方法试题答案.doc

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《最优化原理与算法》试卷

填空题(每小题5分)

1.若,则 , .

2.设连续可微且,若向量满足 ,则它是在处的一个下降方向。

3.向量关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 .

4. 设二次可微,则在处的牛顿方向为 .

5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法: .

6.以下约束优化问题:

的K-K-T条件为:

.

7.以下约束优化问题:

的外点罚函数为(取罚参数为) .

证明题(7分+8分)

1.设和都是线性函数,证明下面的约束问题:

是凸规划问题。

2.设连续可微,,,,考察如下的约束条件问题:

设是问题

的解,求证:是在处的一个可行方向。

计算题(每小题12分)

1.取初始点.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题(迭代2步):

2.采用精确搜索的BFGS算法求解下面的无约束问题:

3.用有效集法求解下面的二次规划问题:

4.用可行方向算法(Zoutendijk算法或Frank Wolfe算法)求解下面的问题(初值设为,计算到即可):

参考答案

一、填空题

1.

2.

3. ,(答案不唯一)。

4.

5. 牛顿法、修正牛顿法等(写出一个即可)

6.

7.

二、证明题

1.证明:要证凸规划,即要证明目标函数是凸函数且可行域是凸集。

一方面,由于二次连续可微,正定,根据凸函数等价条件可知目标函数是凸函数。

另一方面,约束条件均为线性函数,若任意可行域,则

故,从而可行域是凸集。

2.证明:要证是在处的一个可行方向,即证当,时,,使得,

当时,,,故;

当时,,,故.

因此,是在处的一个可行方向。

计算题

1.解:

令 得;

第一次迭代: ,, ,令,求得;

第二次迭代:,,,

,令,求得,故,由于,故为最优解。

0

1

2

2.解:取

第一步迭代:

,,令,求得;

第二步迭代:

,,

,,令,求得。故,由于,故为最优解。

0

1/2

1

2

2

3. 解:取初始可行点求解等式约束子问题

得解和相应的Lagrange乘子

转入第二次迭代。求解等式约束子问题

得解

转入第三次迭代。求解等式约束子问题

得解和相应的Lagrange乘子

由于,故得所求二次规划问题的最优解为

相应的Lagrange乘子为

4.解:计算梯度得

当时,,.是下面线性规划问题的解:

解此线性规划(作图法)得,于是.由线性搜索

得.因此,.重复以上计算过程得下表:

0

1

1

2

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