风度78
风度78

《麻省理工公开课：线性代数》中文笔记来了！

MLNLP社区在Github上最新发布了一套MIT线性代数课程Linear Algebra的学习笔记，目前已获得1600star。项目简介如下所示，欢迎大家关注！

项目地址：https://github.com/MLNLP-World/MIT-Linear-Algebra-Notes

1

『项目动机』

《麻省理工公开课：线性代数》是麻省理工公开课中广为流传的一门好课。本项目总结了我们在学习MIT线性代数课程 Linear Algebra的学习笔记。赠人玫瑰，手留余香，我们将所有的笔记开源，希望在自己学习的同时，也对大家学习掌握《麻省理工公开课：线性代数》有所帮助。

2

『项目特色』

  • 笔记与原课程视频一一对应，可以帮助大家一边听课一边理解。

  • 通过图解来使得笔记尽量通俗易懂

课程视频共35节，单个视频平均时长不超过60分钟，预计一个月可以学习完毕。

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『课程目录』

《麻省理工公开课：线性代数》中文笔记来了！_第1张图片

【第1集】方程组的几何解释

【第2集】矩阵消元

【第3集】乘法和逆矩阵

【第4集】A的LU分解

【第5集】转置-置换-向量空间R

【第6集】列空间和零空间

【第7集】求解Ax=0：主变量、特解

【第8集】求解Ax=b：可解性和解的结构

【第9集】线性相关性、基、维数

【第10集】四个基本子空间

【第11集】矩阵空间、秩1矩阵和小世界图

【第12集】图和网络

【第13集】复习一

【第14集】正交向量与子空间

【第15集】子空间投影

【第16集】投影矩阵和最小二乘

【第17集】正交矩阵和Gram-Schmidt正交化

【第18集】行列式及其性质

【第19集】行列式公式和代数余子式

【第20集】克拉默法则、逆矩阵、体积

【第21集】特征值和特征向量

【第22集】对角化和A的幂

【第23集】微分方程和exp(At)

【第24集】马尔可夫矩阵;.傅立叶级数

【第25集】复习二

【第26集】对称矩阵及正定性

【第27集】复数矩阵和快速傅里叶变换

【第28集】正定矩阵和最小值

【第29集】相似矩阵和若尔当形

【第30集】奇异值分解

【第31集】线性变换及对应矩阵

【第32集】基变换和图像压缩

【第33集】单元检测3复习

【第34集】左右逆和伪逆

【第35集】期末复习

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『内容预览』

以下是第一集《方程组的几何解释》的部分笔记内容，更多内容可以前往项目查看。

《麻省理工公开课：线性代数》中文笔记来了！_第2张图片

详情见项目Github主页

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『项目地址』

项目地址：https://github.com/MLNLP-World/MIT-Linear-Algebra-Notes

可点击下方「阅读原文」，进入项目主页！

 
   
《麻省理工公开课：线性代数》中文笔记来了！_第3张图片
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
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    一、引言：为什么多模态是AI发展的下一场革命？过去十年，深度学习推动了计算机视觉和自然语言处理的飞跃，但两者的发展路径长期割裂。随着生成式AI和大模型时代的到来，**多模态大模型（MultimodalFoundationModels）**以统一的建模方式处理图像、文本、音频、视频等多源数据，重塑了“感知-认知-决策”链条，为AGI迈出关键一步。OpenAI的GPT-4o、Google的Gemini
    
                    
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      大家好，我是爱编程的喵喵。双985硕士毕业，现担任全栈工程师一职，热衷于将数据思维应用到工作与生活中。从事机器学习以及相关的前后端开发工作。曾在阿里云、科大讯飞、CCF等比赛获得多次Top名次。现为CSDN博客专家、人工智能领域优质创作者。喜欢通过博客创作的方式对所学的知识进行总结与归纳，不仅形成深入且独到的理解，而且能够帮助新手快速入门。  本文主要介绍了ImportError:/home/
    
                    
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    根据GithubTrendings的统计，今日(2025-07-05统计)共有10个项目上榜。根据开发语言中项目的数量，汇总情况如下：开发语言项目数量Rust项目10TypeScript项目1uv:极快的Python软件包安装程序和解析器创建周期：147天开发语言：Rust协议类型：ApacheLicense2.0Star数量：7066个Fork数量：200次关注人数：7066人贡献人数：45人O
    
                    
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    决策树模型（DecisionTree）详解决策树是一种树形结构的监督学习模型，通过一系列规则对数据进行分类或回归。其核心思想是模仿人类决策过程，通过不断提问（基于特征划分）逐步逼近答案。1.核心概念节点类型：根节点：起始问题（最佳特征划分点）。内部节点：中间决策步骤（特征判断）。叶节点：最终预测结果（类别或数值）。分支：对应特征的取值或条件判断（如“年龄≥30？”）。2.构建决策树的关键步骤(1)
    
                    
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  • 【机器学习笔记 Ⅱ】10 完整周期
                        

                        
    机器学习的完整生命周期（End-to-EndPipeline）机器学习的完整周期涵盖从问题定义到模型部署的全过程，以下是系统化的步骤分解和关键要点：1.问题定义（ProblemDefinition）目标：明确业务需求与机器学习任务的匹配性。关键问题：这是分类、回归、聚类还是强化学习问题？成功的标准是什么？（如准确率>90%、降低10%成本）输出：项目目标文档（含评估指标）。2.数据收集（DataC
    
                    
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  • 【机器学习笔记Ⅰ】13 正则化代价函数
                        

                        
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  • 【机器学习笔记Ⅰ】6 多类特征
                        巴伦是只猫
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    多类特征（Multi-classFeatures）详解多类特征是指一个特征（变量）可以取多个离散的类别值，且这些类别之间没有内在的顺序关系。这类特征是机器学习中常见的数据类型，尤其在分类和回归问题中需要特殊处理。1.核心概念(1)什么是多类特征？定义：特征是离散的、有限的类别，且类别之间无大小或顺序关系。示例：颜色：红、绿、蓝（无顺序）。城市：北京、上海、广州（无数学意义的大小关系）。动物类别：猫
    
                    
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  • 图像分割技术详解：从原理到实践
                        lanjieying

                        
    本文还有配套的精品资源，点击获取简介：图像分割是图像处理领域将图像分解为多个区域的过程，用于图像分析、特征提取等。文章介绍了图像分割的原理，并通过一个将图像划分为2*4子块的示例，展示了如何使用Python和matplotlib库中的tight_subplot函数进行图像分割和展示。文章还探讨了图像分割在不同领域的应用，以及如何在机器学习项目中作为数据预处理步骤。1.图像分割基本概念在图像处理领域
    
                    
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  • 机器学习笔记——支持向量机
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机器学习笔记支持向量机
                        
    支持向量机参数模型对分布需要假设（这也是与非参数模型的区别之一）间隔最大化，形式转化为凸二次规划问题最大化间隔间隔最大化是意思：对训练集有着充分大的确信度来分类训练数据，最难以分的点也有足够大的信度将其分开间隔最大化的分离超平面的的求解怎么求呢？最终的方法如下1.线性可分的支持向量机的优化目标其实就是找得到分离的的超平面求得参数w和b的值就可以了注意，最大间隔分离超平面是唯一的，间隔叫硬间隔1.1
    
                    
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  • 【机器学习&深度学习】多分类评估策略
                        一叶千舟
深度学习【理论】深度学习【应用必备常识】大数据人工智能
                        
    目录前言一、多分类3大策略✅宏平均（MacroAverage）✅加权平均（WeightedAverage）✅微平均（MicroAverage）二、类比理解2.1宏平均（MacroAverage）2.1.1计算方式2.1.2适合场景2.1.3宏平均不适用的场景2.1.4宏平均一般用在哪些指标上？2.1.5怎么看macroavg指标？2.1.6宏平均值低说明了什么？2.1.7从宏平均指标中定位模型短板
    
                    
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  • 网络安全相关专业总结（非常详细）零基础入门到精通，收藏这一篇就够了
                        网络安全工程师教学
兼职副业黑客技术网络安全web安全安全人工智能网络运维
                        
    一、网络工程专业专业内涵网络工程是指按计划进行的以工程化的思想、方式、方法，设计、研发和解决网络系统问题的工程，一般指计算机网络系统的开发与构建。该专业培养具备计算机科学与技术学科理论基础，掌握网络技术领域专业知识和基本技能，在计算机、网络及人工智能领域的工程实践和应用方面受到良好训练，具有深厚通信背景、可持续发展、能力较强的高水平工程技术人才。学生可在计算机软硬件系统、互联网、移动互联网及新一代
    
                    
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  • 【机器学习笔记Ⅰ】7 向量化
                        巴伦是只猫
机器学习机器学习笔记人工智能
                        
    向量化（Vectorization）详解向量化是将数据或操作转换为向量（或矩阵）形式，并利用并行计算高效处理的技术。它是机器学习和数值计算中的核心优化手段，能显著提升代码运行效率（尤其在Python中避免显式循环）。1.为什么需要向量化？(1)传统循环的缺陷低效：Python的for循环逐元素操作，速度慢。代码冗长：需手动处理每个元素。示例：计算两个数组的点积（非向量化）a=[1,2,3]b=[4
    
                    
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  • apache 安装linux windows
                                    墙头上一根草
apacheinuxwindows
                                    
    linux安装Apache 有两种方式一种是手动安装通过二进制的文件进行安装，另外一种就是通过yum 安装，此中安装方式，需要物理机联网。以下分别介绍两种的安装方式 
  
  
通过二进制文件安装Apache需要的软件有apr,apr-util,pcre 
 1，安装 apr        下载地址：htt
    
                                
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  • fill_parent、wrap_content和match_parent的区别
                                    Cb123456
match_parentfill_parent
                                    
    fill_parent、wrap_content和match_parent的区别: 
  
1）fill_parent 
  设置一个构件的布局为fill_parent将强制性地使构件扩展，以填充布局单元内尽可能多的空间。这跟Windows控件的dockstyle属性大体一致。设置一个顶部布局或控件为fill_parent将强制性让它布满整个屏幕。 
2） wrap_conte
    
                                
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  • 网页自适应设计
                                    天子之骄
htmlcss响应式设计页面自适应
                                    
    网页自适应设计 
       网页对浏览器窗口的自适应支持变得越来越重要了。自适应响应设计更是异常火爆。再加上移动端的崛起，更是如日中天。以前为了适应不同屏幕分布率和浏览器窗口的扩大和缩小，需要设计几套css样式，用js脚本判断窗口大小，选择加载。结构臃肿，加载负担较大。现笔者经过一定时间的学习，有所心得，故分享于此，加强交流，共同进步。同时希望对大家有所
    
                                
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  • [sql server] 分组取最大最小常用sql
                                    一炮送你回车库
SQL Server
                                    
    --分组取最大最小常用sql--测试环境if OBJECT_ID('tb') is not null drop table tb;gocreate table tb( col1 int, col2 int, Fcount int)insert into tbselect 11,20,1 union allselect 11,22,1 union allselect 1
    
                                
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  • ImageIO写图片输出到硬盘
                                    3213213333332132
javaimage
                                    
    package awt; 
 
import java.awt.Color; 
import java.awt.Font; 
import java.awt.Graphics; 
import java.awt.image.BufferedImage; 
import java.io.File; 
import java.io.IOException; 
 
import javax.imagei
    
                                
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  • 自己的String动态数组
                                    宝剑锋梅花香
java动态数组数组
                                    
    数组还是好说，学过一两门编程语言的就知道，需要注意的是数组声明时需要把大小给它定下来，比如声明一个字符串类型的数组：String str[]=new String[10];    但是问题就来了，每次都是大小确定的数组，我需要数组大小不固定随时变化怎么办呢？  动态数组就这样应运而生，龙哥给我们讲的是自己用代码写动态数组，并非用的ArrayList 看看字符
    
                                
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  • pinyin4j工具类
                                    darkranger
.net
                                    
    pinyin4j工具类Java工具类 2010-04-24 00:47:00 阅读69 评论0 字号：大中小 
引入pinyin4j-2.5.0.jar包: 
pinyin4j是一个功能强悍的汉语拼音工具包，主要是从汉语获取各种格式和需求的拼音，功能强悍，下面看看如何使用pinyin4j。 
 
本人以前用AscII编码提取工具，效果不理想，现在用pinyin4j简单实现了一个。功能还不是很完美，
    
                                
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  • StarUML学习笔记----基本概念
                                    aijuans
UML建模
                                    
    介绍StarUML的基本概念，这些都是有效运用StarUML?所需要的。包括对模型、视图、图、项目、单元、方法、框架、模型块及其差异以及UML轮廓。 
        模型、视与图（Model, View and Diagram） 
       &
    
                                
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  • Activiti最终总结
                                    avords
Activiti id 工作流
                                    
    1、流程定义ID：ProcessDefinitionId，当定义一个流程就会产生。 
2、流程实例ID：ProcessInstanceId，当开始一个具体的流程时就会产生，也就是不同的流程实例ID可能有相同的流程定义ID。 
3、TaskId，每一个userTask都会有一个Id这个是存在于流程实例上的。 
4、TaskDefinitionKey和（ActivityImpl activityId 
    
                                
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  • 从省市区多重级联想到的，react和jquery的差别
                                    bee1314
jqueryUIreact
                                    
    在我们的前端项目里经常会用到级联的select，比如省市区这样。通常这种级联大多是动态的。比如先加载了省，点击省加载市，点击市加载区。然后数据通常ajax返回。如果没有数据则说明到了叶子节点。       针对这种场景，如果我们使用jquery来实现，要考虑很多的问题，数据部分，以及大量的dom操作。比如这个页面上显示了某个区，这时候我切换省，要把市重新初始化数据，然后区域的部分要从页面
    
                                
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  • Eclipse快捷键大全
                                    bijian1013
javaeclipse快捷键
                                    
    Ctrl+1 快速修复(最经典的快捷键,就不用多说了)Ctrl+D: 删除当前行 Ctrl+Alt+↓ 复制当前行到下一行(复制增加)Ctrl+Alt+↑ 复制当前行到上一行(复制增加)Alt+↓ 当前行和下面一行交互位置(特别实用,可以省去先剪切,再粘贴了)Alt+↑ 当前行和上面一行交互位置(同上)Alt+← 前一个编辑的页面Alt+→ 下一个编辑的页面(当然是针对上面那条来说了)Alt+En
    
                                
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  • js 笔记 函数
                                    征客丶
JavaScript
                                    
    一、函数的使用 
1.1、定义函数变量 
var vName = funcation(params){ 
} 
 
1.2、函数的调用 
函数变量的调用：      vName(params); 
函数定义时自发调用：(function(params){})(params); 
 
1.3、函数中变量赋值 
var a = 'a'; 
var ff
    
                                
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  • 【Scala四】分析Spark源代码总结的Scala语法二
                                    bit1129
scala
                                    
    1. Some操作 
  
在下面的代码中，使用了Some操作：if (self.partitioner == Some(partitioner))，那么Some(partitioner)表示什么含义？首先partitioner是方法combineByKey传入的变量， 
Some的文档说明： 
  
/** Class `Some[A]` represents existin
    
                                
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  • java 匿名内部类
                                    BlueSkator
java匿名内部类
                                    
    组合优先于继承 
Java的匿名类，就是提供了一个快捷方便的手段，令继承关系可以方便地变成组合关系 
继承只有一个时候才能用，当你要求子类的实例可以替代父类实例的位置时才可以用继承。 
  
在Java中内部类主要分为成员内部类、局部内部类、匿名内部类、静态内部类。 
内部类不是很好理解，但说白了其实也就是一个类中还包含着另外一个类如同一个人是由大脑、肢体、器官等身体结果组成，而内部类相
    
                                
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  • 盗版win装在MAC有害发热，苹果的东西不值得买，win应该不用
                                    ljy325
游戏applewindowsXPOS
                                    
    Mac mini 型号: MC270CH-A RMB:5,688 
  
Apple 对windows的产品支持不好,有以下问题: 
  
1.装完了xp,发现机身很热虽然没有运行任何程序！貌似显卡跑游戏发热一样，按照那样的发热量,那部机子损耗很大,使用寿命受到严重的影响! 
  
2.反观安装了Mac os的展示机，发热量很小，运行了1天温度也没有那么高 
&nbs
    
                                
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  • 读《研磨设计模式》-代码笔记-生成器模式-Builder
                                    bylijinnan
java设计模式
                                    
    声明： 本文只为方便我个人查阅和理解，详细的分析以及源代码请移步 原作者的博客http://chjavach.iteye.com/ 
 
 



/**
 * 生成器模式的意图在于将一个复杂的构建与其表示相分离，使得同样的构建过程可以创建不同的表示（GoF）
 * 个人理解：
 * 构建一个复杂的对象，对于创建者（Builder）来说，一是要有数据来源(rawData)，二是要返回构
    
                                
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  • JIRA与SVN插件安装
                                    chenyu19891124
SVNjira
                                    
    JIRA安装好后提交代码并要显示在JIRA上，这得需要用SVN的插件才能看见开发人员提交的代码。 
1.下载svn与jira插件安装包，解压后在安装包(atlassian-jira-subversion-plugin-0.10.1) 
2.解压出来的包里下的lib文件夹下的jar拷贝到(C:\Program Files\Atlassian\JIRA 4.3.4\atlassian-jira\WEB
    
                                
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  • 常用数学思想方法
                                    comsci
工作
                                    
      对于搞工程和技术的朋友来讲，在工作中常常遇到一些实际问题，而采用常规的思维方式无法很好的解决这些问题，那么这个时候我们就需要用数学语言和数学工具，而使用数学工具的前提却是用数学思想的方法来描述问题。。下面转帖几种常用的数学思想方法，仅供学习和参考 
 
 
 
  函数思想 
　　把某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、最常用的数学方法
    
                                
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  • pl/sql集合类型
                                    daizj
oracle集合typepl/sql
                                    
    --集合类型 
/* 
  单行单列的数据，使用标量变量 
  单行多列数据，使用记录 
  单列多行数据，使用集合（。。。） 
  *集合：类似于数组也就是。pl/sql集合类型包括索引表（pl/sql table）、嵌套表（Nested Table）、变长数组（VARRAY）等 
*/ 
/* 
    --集合方法 
&n
    
                                
    • 
                                
  • [Ofbiz]ofbiz初用
                                    dinguangx
电商ofbiz
                                    
    从github下载最新的ofbiz（截止2015-7-13），从源码进行ofbiz的试用 
1. 加载测试库 
ofbiz内置derby，通过下面的命令初始化测试库 
./ant load-demo (与load-seed有一些区别) 
  
2. 启动内置tomcat 
./ant start 
或 
./startofbiz.sh 
或 
java -jar ofbiz.jar 
&
    
                                
    • 
                                
  • 结构体中最后一个元素是长度为0的数组
                                    dcj3sjt126com
cgcc
                                    
    在Linux源代码中，有很多的结构体最后都定义了一个元素个数为0个的数组，如/usr/include/linux/if_pppox.h中有这样一个结构体： struct pppoe_tag {     __u16 tag_type;     __u16 tag_len;   &n
    
                                
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  • Linux cp 实现强行覆盖
                                    dcj3sjt126com
linux
                                    
    发现在Fedora 10 /ubutun 里面用cp -fr src dest，即使加了-f也是不能强行覆盖的，这时怎么回事的呢？一两个文件还好说，就输几个yes吧，但是要是n多文件怎么办，那还不输死人呢？下面提供三种解决办法。 方法一 
 
 我们输入alias命令，看看系统给cp起了一个什么别名。 
  
  [root@localhost ~]# aliasalias cp=’cp -i’a
    
                                
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  • Memcached(一)、HelloWorld
                                    frank1234
memcached
                                    
    一、简介 
高性能的架构离不开缓存，分布式缓存中的佼佼者当属memcached，它通过客户端将不同的key hash到不同的memcached服务器中，而获取的时候也到相同的服务器中获取，由于不需要做集群同步，也就省去了集群间同步的开销和延迟，所以它相对于ehcache等缓存来说能更好的支持分布式应用，具有更强的横向伸缩能力。 
二、客户端 
选择一个memcached客户端，我这里用的是memc
    
                                
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  • Search in Rotated Sorted Array II
                                    hcx2013
search
                                    
    Follow up for "Search in Rotated Sorted Array":What if duplicates are allowed? 
Would this affect the run-time complexity? How and why? 
Write a function to determine if a given ta
    
                                
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  • Spring4新特性——更好的Java泛型操作API
                                    jinnianshilongnian
spring4generic type
                                    
    Spring4新特性——泛型限定式依赖注入 
Spring4新特性——核心容器的其他改进 
Spring4新特性——Web开发的增强 
Spring4新特性——集成Bean Validation 1.1(JSR-349)到SpringMVC  
Spring4新特性——Groovy Bean定义DSL 
Spring4新特性——更好的Java泛型操作API  
Spring4新
    
                                
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  • CentOS安装JDK
                                    liuxingguome
centos
                                    
    1、行卸载原来的： 
[root@localhost opt]# rpm -qa | grep java 
tzdata-java-2014g-1.el6.noarch 
java-1.7.0-openjdk-1.7.0.65-2.5.1.2.el6_5.x86_64 
java-1.6.0-openjdk-1.6.0.0-11.1.13.4.el6.x86_64 
[root@localhost
    
                                
    • 
                                
  • 二分搜索专题2-在有序二维数组中搜索一个元素
                                    OpenMind
二维数组算法二分搜索
                                    
    1,设二维数组p的每行每列都按照下标递增的顺序递增。 
用数学语言描述如下：p满足 
(1),对任意的x1，x2，y，如果x1<x2,则p(x1,y)<p(x2,y); 
(2),对任意的x，y1,y2, 如果y1<y2,则p(x,y1)<p(x,y2); 
2,问题： 
给定满足1的数组p和一个整数k，求是否存在x0,y0使得p(x0,y0)=k? 
3,算法分析： 
(
    
                                
    • 
                                
  • java 随机数 Math与Random
                                    SaraWon
javaMathRandom
                                    
    今天需要在程序中产生随机数，知道有两种方法可以使用，但是使用Math和Random的区别还不是特别清楚，看到一篇文章是关于的，觉得写的还挺不错的，原文地址是 
http://www.oschina.net/question/157182_45274?sort=default&p=1#answers 
 
产生1到10之间的随机数的两种实现方式： 
 

//Math
Math.roun
    
                                
    • 
                                
  • oracle创建表空间
                                    tugn
oracle
                                    
    create temporary tablespace TXSJ_TEMP   
tempfile 'E:\Oracle\oradata\TXSJ_TEMP.dbf'   
size 32m   
autoextend on   
next 32m maxsize 2048m   
extent m
    
                                
    • 
                                
  • 使用Java8实现自己的个性化搜索引擎
                                    yangshangchuan
javasuperword搜索引擎java8全文检索
                                    
    需要对249本软件著作实现句子级别全文检索，这些著作均为PDF文件，不使用现有的框架如lucene，自己实现的方法如下： 
1、从PDF文件中提取文本，这里的重点是如何最大可能地还原文本。提取之后的文本，一个句子一行保存为文本文件。 
2、将所有文本文件合并为一个单一的文本文件，这样，每一个句子就有一个唯一行号。 
3、对每一行文本进行分词，建立倒排表，倒排表的格式为：词=包含该词的总行数N=行号
    
                                
    • 
                

            

        

    




    

        

            按字母分类：
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