数据库规范化理论---求候选键

数据库规范化理论—求候选键

 

预备知识：求闭包

1、概念型算法

F 的闭包:

在关系模式 R 中为 F 所逻辑蕴含的函数依赖的全体叫作 F 的闭包，记为 F + 。

 

 

属性集 X 关于函数依赖集 F 的闭包:

设 F 为属性集 U 上的一组函数依赖， X Í U ， XF + ={ A|X → A 能由 F 根据 Armstrong 公理导出 } ， XF + 称为属性集 X 关于函数依赖集 F 的闭包.

 

算法  求属性集 X （ X Í U ）关于 U 上的函数依赖集 F 的闭包 XF +

 

输入： X ， F         输出： XF +

步骤：

（ 1 ）令 X （ 0 ） =X ， i =0

（ 2 ）求 B ，这里 B = { A |( $ V)( $ W )(V → W Î F ∧ V Í X （ i ）∧ A Î W) } ；

（ 3 ） X （ i+1 ） =B ∪ X （ i ）

（ 4 ）判断 X （ i+1 ） = X （ i ）吗 ?

（ 5 ）若相等或 X （ i ） =U , 则 X （ i ）就是 XF + , 算法终止。

（ 6 ）若否，则 i =i +l ，返回第（ 2 ）步。

 

2、通俗算法

 

以下是写的比较科学规范的闭包求解方法，设X和Y均为关系R的属性集的子集，F是R上的函数依赖集，若对R的任一属性集B，一旦X→B，必有B⊆Y，且对R的任一满足以上条件的属性集Y1 ，必有Y⊆Y1，此时称Y为属性集X在函数依赖集F下的闭包，记作X＋。 

　　计算关系R的属性集X的闭包的步骤如下： 

　　第一步：设最终将成为闭包的属性集是Y，把Y初始化为X； 

　　第二步：检查F中的每一个函数依赖A→B，如果属性集A中所有属性均在Y中，而B中有的属性不在Y中，则将其加入到Y中； 

　　第三步：重复第二步，直到没有属性可以添加到属性集Y中为止。 最后得到的Y就是X＋

      例（1）：   设有关系模式R(U，F)，其中U={A，B，C，D，E，I}，F={A→D，AB→E，BI→E，CD→I，E→C}，计算(AE)+

        解:  (1) 令X={AE}，X(0)=AE

              (2)在F中寻找尚未使用过的左边是AE的子集的函数依赖，结果是: A→D， E→C；所以 X(1)=X(0)DC=ACDE， 显然 X(1)≠X(0).

              (3) 在F中寻找尚未使用过的左边是ACDE的子集的函数依赖， 结果是: CD→I；所以 X(2)=X(1)I=ACDEI。虽然X（2）≠X(1)，但F中寻找尚未使用过函数依赖的左边已经没有X（2）的子集，所以不必再计算下去，即(AE)+=ACDEI。

　　　说白话一点：闭包就是由一个属性直接或间接推导出的所有属性的集合。

         例如：f={a->b，b->c，a->d，e->f}；由a可直接得到b和d，间接得到c，则a的闭包就是{a，b，c，d}

 

 

 

一、《架构师考试》讲义算法

难点：1、画函数依赖图不能画错；

          2、没有入度为0的属性或入度为0不能遍历全图时较难。

          3、如何定义“能正常遍历图中所有节点”？当存在多个属性共同决定某属性时，存在歧义易错。例架构师考试2009题26

需要注意问题：

1、图中第二条：“若能正常遍历图中所有节点”指的是该属性集合加起来能遍历全图。举例：设U={A、B、C、D、E}，假设零入度的有C和D，C为起点能遍历B、A、E。D为起点能遍历A、E。C和D加起来能遍历所有，故CD集合为候选码。

结论：是一种快速算法，但由于难点3，不属于一种比较严谨的算法。可作为一种参考，若题目较复杂，不建议采用。

 

二、理论算法

以下两个算法都是基于闭包算法的，思路略有差异，算法基本相同。

算法1：理论

首先对于给定的R(U)和函数依赖集F,可以将它的属性划分为4类:
L类,仅出现在F的函数依赖左部的属性。 
R类,仅出现在F的函数依赖右部的属性。  
N类,在F的函数依赖左部和右部均未出现的属性。 
LR类,在F的函数依赖左部和右部两部均出现的属性。  
根据以下定理和推论来求解候选码。  
定理1:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(X∈R)是L类属性,则X必为R的任一候选码的成员。 
推论1:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(X∈R)是L类属性,且X+包含了R的全部属性,则X必为R的唯一候选码。  
定理2:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,若X(X∈R)是R类属性,则X不在任何候选码中。  
定理3:设有关系模式R及其函数依赖集F,如果X是R的N类属性,则X必包含在R的任一候选码中。  
推论2:对于给定的关系模式R及其函数依赖集F,如果X是R的N类和L类组成的属性集,且X+包含了R的有属性,则X是R的唯一候选码。  
例：如设有关系模式R(U),其函数依赖集为F,其中:  
U={A,B,C,D,E}, F={A→C,C→A,B→AC,D→AC} 
求R的候选码。  
解:根据函数依赖可得:  
属性B、D为L类,E为N类,因此属性B、D、E必为候选码的成员,且此三个属性的闭包:B+=ABC,(BD)+=ABCD,(BDE)+=ABCDE,根据推论2可得BDE是R的唯一候选码。所以R的候选码为BDE。 如果把例题中关系模式R(U)中的属性E去掉,那么再求R的候选码的话可以根据推论1得出BD为R的唯一候选码。  
快速求解方法适用于判断有属性是属于L类、N类或其中一种的情况下求解。如果有L类和N类的属性,则求解候选码速度非常快。  
简而言之：L、R、N、LR类。根据定理，L、N类必为侯选码之一，如果L+包含全部R，则L为唯一侯选。R类不在任何侯选码中。L+N类且（L+N）+包含所有R，则L+N为唯一侯选。（适于有L、N类至少一种的情况。） 

 

 

算法2：较通俗

在学习数据库的时候，经常要碰到候选键的求取，但是一开始的时候，根本搞不清楚怎么去求，最近看了一些文章和资料，终于搞明白了。

首先来看候选键的定义：若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选键。

若W是候选键，则必须满足两个条件：W的闭包是U；W没有冗余。

设关系模式R中U=ABC.......等N个属性，U中的属性在FD中有四种范围：

(1)左右出现;
(2)只在左部出现;
(3)只在右部出现;
(4)不在左右出现;

算法：按以下步骤求候选键：
1.只在FD右部出现的属性，不属于候选码;
2.只在FD左部出现的属性，一定存在于某候选码当中;
3.外部属性一定存在于任何候选码当中;
4.其他属性逐个与2,3的属性组合，求属性闭包，直至X的闭包等于U,若等于U,则X为候选码。

例1：R,U=(A,B,C,D,E,G),F={AB-->C,CD-->E,E-->A.A-->G},求候选码。

  因G只在右边出现,所以G一定不属于候选码;而B,D只在左边出现,所以B,D一定属于候选码;BD的闭包还是BD,则对BD进行组合,除了G以外,BD可以跟A,C,E进行组合
  先看ABD
  ABD本身自包ABD,而AB-->C,CD-->E,A-->G,所以ABD的闭包为ABDCEG=U
  再看BDC
  CD-->E,E-->A,A-->G,BDC本身自包,所以BDC的闭包为BDCEAG=U
  最后看BDE
  E-->A,A-->G,AB-->C,BDE本身自包,所以BDE的闭包为BDEAGC=U

  因为(ABD)、(BCD)、(BDE)的闭包都是ABCDEG所以本问题的候选码有3个分别是ABC、BCD和BDE

 

例2：R,U=(A,B,C),F={AB-->C,C-->B},求候选码。

因为A只出现在左边，所以A一定是候选键。A的闭包还是A，则对A进行组合，可以和B,C进行组合。

首先看AB，AB本身自包AB，而AB-->C，所以AB的闭包是ABC=U。

再看AC，AC本身自包AC，而C-->B，所以AC的闭包是ABC=U。

因为AB,AC的闭包都是ABC，也就是U，所以候选键是AB，AC。

 

结论：算法一可作参考，不宜采用。算法二.2推荐采用。考试时由于题目只会出现在选择题，可以结合排出法、倒推（算闭包法）得出答案。