数学建模灰色预测模型 -- 学习笔记

前言

本片博文只是一篇笔记博文，略有不当之处请务必多多指正！望各位大佬不吝赐教！

灰色预测

何为灰色预测，这个历史就不多说了。我们更加关心的是这个玩意他能够干什么，适合那些方面的预测，以及相关的原理是什么？对应的灰色预测能够解决那些问题？
那么先说句不是人话：
·灰色预测是对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预则，就是对在一定范围内变化的、与时间有关的灰色过程进行预测。

灰色关联度比较

这个其实有点类似与我们的层次分析法，他们都能够对某一个事件进行评比，比较，但是区别在于利用层次分析法我们需要制定相关的权重，需要进行一致性检验，换句话来说在这方面，如果我们使用层次分析法的话，那么会带有一定的主观性，而缺乏对应的客观性，虽然我们可以是我们是通过了一致性检验的，但是总体上似乎缺少一点信服力。
那么在灰色比较的话，那么则更像是我们提供了一个完美的样本，我们现在手头上的样本和它的相似度有多少？越接近那么就意味着当前样本越是接近完美，那么我们就可以通过这个来实现样本之间的比较。例如我们通过这个来评比最优员工，最佳老师等等，如果我们使用层次分析的话，那么我们就要考虑每一项技能之间的权重，那么必然会导致意见不统一，甚至在建模过程中直接发现一致性检验不通过。
那么如此我们先来看看具体的例子看看如何使用。现在我们需要评价一组老师的绩效。

灰色关联度案例

现在我们需要评价哪个老师最好。
1.那么首先第一步是找到一组参考向量，也就是相当于模范样本。我们假设为{9 9 9 9 9 9 9}，因为这里最高就是9，写10 的话大家都不满足。我们记住这一组向量为X0={9 9 9 9 9 9 9}
2.我们把每一组与标准组相减去，取绝对值。

3.我们找到最小的与最大的。

4.我们通过公式进行计算，这个公式求取相关性，怎么来的不要紧，我们暂时不关心，我们只关心怎么用

其中那个 P 是 0到1之间的数
当我们计算第一组的时候就可以这样算。

然后我们得到了这样一组数列。

之后我们可以对每个老师的评分求取平均值

那么这个时候我们就求到了每个人的关联序，那么我们就可以进行比较了。此方法相对于层次分析法来看显然更加清晰简便。

灰色预测模型

首先灰色预测更加适合小样本的预测，也就是当给的数据不是很多的时候，此外灰色预测其实是顺着时间线进行正向的预测，例如通过往年降雨量，预测明年降雨量最典型的例子就是。还有以前的题目预测什么非典的。
那么灰色预测的主要核心其实是对数据进行处理，把看起来没有规律的数据通过 累加 累减 加权累加的过程处理后再通过积分得到预测数据，通常预测几个，再复杂可能就要用到拟合了。

累加

其实就是把前N个数据加起来得到新的数列。
例如 1 2 3 4 5
处理后： 1 3 6 10 15
我们把初始数列记作：

处理后为：

累加 r 次我们记作

那么在图像上经过处理后是这样的

累减

那就更加简单了，那就是后一项减去前一项。
例如 1 2 3 4 5
处理后： 0 1 1 1 1
下面是个示例：

加权邻值生成

那个就是把两相邻的数据按照比例加起来。
原始数列：

处理后，那个 阿尔法 取值0 到 1

灰色模型ＧＭ(1,1)

这个就是我们用来把前面的东西穿起来做预测的玩意。

模型推导

这个还是基于前面的例子来的，我们假设原始数列是：

一次累加后是

我们此时通过累减就会得到原来的数列中的某个值也就是：

其中d(k)我们叫它灰导数，因为这个是不连续的，那么接下来我们的所有工作其实都是让它可导。
之后邻值加权

最后我们引入模型ＧＭ(1,1)

或者

这个算式我们可以发现这个其实类似于最小二乘，当然我们也可以通过矩阵进行运算。

引入线性代数

我们可以算得到 a b
然后我们带入方程

然后求导运算

最后我们可以得到这个玩意

这个是我们构建的解值，我们最后还要换算回去原始数列。

到此我们的数据就已经完成预测了。但是我们此时还是需要进行检验的，如果检验不通过我们是无法信任这样的值的。
计算相对差

绝对值小于 0.1 或者 0.2 越小越好
级比差检验

也是0.1 或者0.2
这个绿色部分是级比

后一项比前一项的比值，这个级比也是有条件的。
必须在之间否则不能灰色预测。如果可以预测那么后面的级比差检验 计算相对差两者满足一个即可。

灰色预测示例

题目

噪音预测，数据如下：

年份	噪音评分
1986	71.4
1987	72.4
1988	72.4
1989	72.1
1990	71.4
1991	72.0
1992	71.6

解题

级比检测

我们先构造原始数列

检验通过

累加处理

算得到

带入模型算a b

得到

得到

回到

算的预测值

误差运算

按照前面的式子


得到

满足其中一个可以使用

代码

前面BB了这么多最重要的还是代码，手算是不可能的这辈子都不可能的。

关联代码

x1=[
    
    8 9 8 7 5 2 9;
    7 8 7 5 7 3 8;
    9 7 9 6 6 4 7;
    6 8 8 8 4 3 6;
    8 6 6 9 8 3 8;
    8 9 5 7 6 4 8;
]   %需要比较的数列
x=x1;
[r,c]=size(x1);

biaozhun = [9 9 9 9 9 9 9] %标准序列
for i=1:r
    for j=1:c
  x(i,j)=abs(biaozhun(j)-x(i,j))
 end
end
max=x(1,1)
min=x(1,1)
for i=1:r
    for j=1:c
 if x(i,j)>=max
     max=x(i,j)
 end
  end
end
for i=1:r
    for j=1:c
 if x(i,j)<=min
     min=x(i,j)
  end
  end
end
k=0.5 %分辨系数取值
l=(min+k*max)./(x+k*max)%求关联系数矩阵
guanliandu=sum(l')/c
[rs,rind]=sort(guanliandu,'descend') %对关联度进行排序

对比一下上面的表，数据对的上。要用的时候改一改就好了。

预测代码

y=input('请输入数据');
n=length(y);

jibi1=exp(1)^(-2/(n+1));
jibi2=exp(1)^(2/(n+1));
for i=2:n
    jibi = y(n)/y(n-1);
    if jibi>jibi1 && jibi

这里主要输入[]

（我这中文编码有问题）

总结

通过对这个的了解，那么我们可以知道灰色预测可以进行关联性比较，也就是说可以在某种程度上解决层次分析法的工作。在数据预测方面适合小范围的预测，例如空气水质质量预测，全国人口预测，新型冠状病毒感染预测。当然前提是数据准确忽略其他因素干扰。