运筹学——图论与最短距离（Python实现）

目录

1 概述

1.1 贪心算法

1.2 图论及求解最短距离 

1.2.1 方法选择：

1.2.2 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法

2 案例1——贪心算法实现 

2.1 旅行商问题（TSP）

2.2 案例

2.3 Python实现 

2.4 结果 

3 案例2——图论及最短距离 

3.1 知识点

3.2 networkx绘图 

3.2.1 创建图

3.2.2 定点的添加、删除和查看 

3.2.3 边的添加、删除和查看 

3.3 案例 

3.4 Python实现 

3.5 结果 ​

4 参考 

---

1 概述

1.1 贪心算法

贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。
基本思路：从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。

该算法存在问题：(1)不能保证求得的最后解是最佳的；(2)不能用来求最大或最小解问题；

(3)只能求满足某些约束条件的可行解的范围。

实现该算法的伪代码：

从问题的某一初始解出发；

while 能朝给定总目标前进一步 do

　　 求出可行解的一个解元素；

由所有解元素组合成问题的一个可行解；

1.2 图论及求解最短距离 

1.2.1 方法选择：

(1)需要求解任意两个节点之间的最短距离，使用 Floyd 算法；

(2)只要求解单源最短路径问题，有负权边时使用 Bellman-Ford 算法，没有负权边时使用 Dijkstra 算法；

(3)A*算法找到的是相对最优路径，适合大规模、实时性高的问题。

本节我们只讨论Dijkstra 算法。

1.2.2 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法

适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。

Dijkstra算法是在1959年提出来的。目前公认，在所有的权wij ≥0时，这个算法是寻求最短路问题最好的算法。并且，这个算法实际上也给出了寻求从一个始定点vs到任意一个点vj的最短路。

2 案例1——贪心算法实现 

2.1 旅行商问题（TSP）

旅行商问题(TravelingSalesmanProblem，TSP)一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要遍历所有城市一次且只能一次，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。

旅行商问题(TSP)即给定一组城市以及每对城市之间的距离，需要找到一条最短的路线，该路线只对每个城市进行一次访问并返回起点。

这里注意汉密尔顿活路(Hamiltonian Cycle)和TSP之间的区别。汉密尔顿回路问题是要找出是否存在一次游览每个城市一次的路线。在TSP问题中，我们是已知存在汉密尔顿回路（因为该图是完整的），并且实际上，存在许多此类回路，TSP问题在于找到最小权重的汉密尔顿回路。

                                    

目前解决TSP问题的方法有许多种，比如：贪心算法、动态规划算法、分支限界法；也有智能算法。本文先介绍贪心算法：

2.2 案例

数据 如下图，第一列城市名。第二列坐标x，第三列坐标y：

贪心算法思路：随便选择出发城市，然后每次选择要去的下一个城市时，都选择还没去的最近的城市。

                               

 

2.3 Python实现 

#========第一步：导入相关库==================
import pandas as pd
import numpy as np
import math
import time

#======第二步：读取数据=================
dataframe = pd.read_csv("旅行商问题.csv", sep=",", header=None)
v = dataframe.iloc[:, 1:3]      #去除第一列12345678910,只保留x,y
print('读取数据:----------------------------')
print(v)

#=======第三步：计算城市之间的距离========
train_v= np.array(v)
train_d=train_v
dist = np.zeros((train_v.shape[0],train_d.shape[0]))    #初始化距离 为10*10的全0矩阵
print(dist.shape)    #(10,10)

#==计算距离矩阵===
for i in range(train_v.shape[0]):
    for j in range(train_d.shape[0]):
        dist[i,j] = math.sqrt(np.sum((train_v[i,:]-train_d[j,:])**2))
print('距离矩阵:----------------------------------')
print(dist)

#==========第四步：计算距离和路径==============
"""
s:已经遍历过的城市
dist：城市间距离矩阵
sumpath:目前的最小路径总长度
Dtemp：当前最小距离
flag：访问标记
"""
i=1
n=train_v.shape[0]#城市个数
j=0
sumpath=0#目前的最小路径总长度
s=[]#已经遍历过的城市
s.append(0)#从城市0开始
start = time.perf_counter()     #time.clock()
while True:
    k=1#从1开始,因为人在城市0，所以我们设定先从城市1开始选择
    Detemp=float('inf')#当前最小距离
    while True:
        flag=0#访问标记，否0
        if k in s:#是否访问，如果访问过，flag设为1
            flag = 1
        if (flag==0) and (dist[k][s[i-1]] < Detemp):#如果未访问过，并且距离小于最小距离
            j = k;
            Detemp=dist[k][s[i - 1]];     #当前两座城市相邻距离
        k+=1#遍历下一城市
        if k>=n:
            break;
    s.append(j)
    i+=1;
    sumpath+=Detemp
    if i>=n:
        break;

sumpath+=dist[0][j]#加上dist[0][j] 表示最后又回到起点
end = time.perf_counter()   #time.clock()
print("距离：")
print(sumpath)
print('*--------------*')
print('路径：')
for m in range(n):
    print("%s-> "%(s[m]),end='')
print()
print("程序的运行时间是：%s"%(end-start))

代码解析：数字k表示当前我们选择前往下一个城市时，我们需要计算所有未访问过的城市和当前城市距离。
数字i 用于控制访问过的城市，我们需要到达每一个城市。

代码中有两个while
里面那个while表示选择下一城市时，需要遍历所有未访问过的城市，然后选择距离当前城市最近的城市，赋值给j
外面while，表示我们的每一步，我们需要去每个城市。

2.4 结果 

读取数据:----------------------------
      1     2
0  2066  2333
1   935  1304
2  1270   200
3  1389   700
4   984  2810
5  2253   478
6   949  3025
7    87  2483
8  3094  1883
9  2706  3130
(10, 10)
距离矩阵:----------------------------------
[[   0.         1529.05264788 2276.68728639 1767.77204413 1182.47748393
  1864.40178073 1313.98363765 1984.67654795 1122.17823896 1022.15898959]
 [1529.05264788    0.         1153.70750193  755.6004235  1506.7969339
  1555.44205935 1721.0569427  1452.28957168 2235.29013777 2543.76040538]
 [2276.68728639 1153.70750193    0.          513.96595218 2625.6229737
  1021.55420806 2843.17885473 2571.29889356 2481.82694804 3262.97349055]
 [1767.77204413  755.6004235   513.96595218    0.         2148.51693035
   892.06502005 2366.26815894 2207.7801068  2075.21420581 2763.94446399]
 [1182.47748393 1506.7969339  2625.6229737  2148.51693035    0.
  2654.91713618  217.83020911  954.74499213 2304.65377009 1751.48051659]
 [1864.40178073 1555.44205935 1021.55420806  892.06502005 2654.91713618
     0.         2861.40262808 2951.53875123 1637.46938903 2690.41130685]
 [1313.98363765 1721.0569427  2843.17885473 2366.26815894  217.83020911
  2861.40262808    0.         1018.23769327 2430.05946429 1760.13465394]
 [1984.67654795 1452.28957168 2571.29889356 2207.7801068   954.74499213
  2951.53875123 1018.23769327    0.         3066.2760802  2697.7342345 ]
 [1122.17823896 2235.29013777 2481.82694804 2075.21420581 2304.65377009
  1637.46938903 2430.05946429 3066.2760802     0.         1305.9682232 ]
 [1022.15898959 2543.76040538 3262.97349055 2763.94446399 1751.48051659
  2690.41130685 1760.13465394 2697.7342345  1305.9682232     0.        ]]
距离：
10464.183486532447
*--------------*
路径：
0-> 9-> 8-> 5-> 3-> 2-> 1-> 7-> 4-> 6-> 
程序的运行时间是：0.0002605780000024538

Process finished with exit code 0

 

3 案例2——图论及最短距离 

3.1 知识点

 

 

3.2 networkx绘图 

3.2.1 创建图

networkx有四种图 Graph 、DiGraph、MultiGraph、MultiDiGraph，分别为无多重边无向图、无多重边有向图、有多重边无向图、有多重边有向图。

#==========创建图================

import networkx as nx  # 导入 NetworkX 工具包
G1 = nx.Graph()  # 创建：空的 无向图
G2 = nx.DiGraph()  #创建：空的 有向图
G3 = nx.MultiGraph()  #创建：空的 多图
G4 = nx.MultiDiGraph()  #创建：空的 有向多图

3.2.2 定点的添加、删除和查看 

#================顶点的添加、删除和查看=============

#======顶点(node)的操作=====

#==向图中添加顶点==
G1.add_node(1)  # 向 G1 添加顶点 1
G1.add_node(1, name='n1', weight=1.0)  # 添加顶点 1，定义 name, weight 属性
G1.add_node(2, date='May-16') # 添加顶点 2，定义 time 属性
G1.add_nodes_from([3, 0, 6], dist=1)  # 添加多个顶点，并定义属性
G1.add_nodes_from(range(10, 15))  # 向图 G1 添加顶点 10～14

#==查看顶点和顶点属性==
print(G1.nodes())  # 查看顶点列表
# [1, 2, 3, 0, 6, 10, 11, 12, 13, 14]
print(G1._node)  # 查看顶点属性
# {1: {'name': 'n1', 'weight': 1.0}, 2: {'date': 'May-16'}, 3: {'dist': 1}, 0: {'dist': 1}, 6: {'dist': 1}, 10: {}, 11: {}, 12: {}, 13: {}, 14: {}}

#==从图中删除顶点==
G1.remove_node(1)  # 删除顶点
G1.remove_nodes_from([1, 11, 13, 14])  # 通过顶点标签的 list 删除多个顶点
print(G1.nodes())  # 查看顶点
# [2, 3, 0, 6, 10, 12]  # 顶点列表

3.2.3 边的添加、删除和查看 

#====================边的添加、删除和查看================

#========边(edge)的操作========

#==向图中添加边==
G1.add_edge(1,5)  # 向 G1 添加边，并自动添加图中没有的顶点
G1.add_edge(0,10, weight=2.7)  # 向 G1 添加边，并设置边的属性
G1.add_edges_from([(1,2,{'weight':0}), (2,3,{'color':'blue'})])  # 向图中添加边，并设置#==属性==
G1.add_edges_from([(3,6),(1,2),(6,7),(5,10),(0,1)])  # 向图中添加多条边
G1.add_weighted_edges_from([(1,2,3.6),[6,12,0.5]])  # 向图中添加多条赋权边: (node1,node2,weight)
print(G1.nodes())  # 查看顶点
# [2, 3, 0, 6, 10, 12, 1, 5, 7]  # 自动添加了图中没有的顶点

#==从图中删除边==
G1.remove_edge(0,1)  # 从图中删除边 0-1
G1.remove_edges_from([(2,3),(1,5),(6,7)])  # 从图中删除多条边

#==查看边和边的属性==
print(G1.edges)  # 查看所有的边
[(2, 1), (3, 6), (0, 10), (6, 12), (10, 5)]
print(G1.get_edge_data(1,2))  # 查看指定边的属性
# {'weight': 3.6}
print(G1[1][2])  # 查看指定边的属性
# {'weight': 3.6}
print(G1.edges(data=True))  # 查看所有边的属性
# [(2, 1, {'weight': 3.6}), (3, 6, {}), (0, 10, {'weight': 2.7}), (6, 12, {'weight': 0.5}), (10, 5, {})]

3.3 案例 

例题 1：已知如图的有权无向图，求顶点 v1 到 顶点 v11 的最短路径。

  

 

3.4 Python实现 

#========导入相关包=========================
import matplotlib.pyplot as plt # 导入 Matplotlib 工具包
import networkx as nx  # 导入 NetworkX 工具包

#======问题：无向图的最短路问题===============
G1 = nx.Graph()  # 创建：空的 无向图
G1.add_weighted_edges_from([(1,2,2),(1,3,8),(1,4,1),
                            (2,3,6),(2,5,1),
                            (3,4,7),(3,5,5),(3,6,1),(3,7,2),
                            (4,7,9),
                            (5,6,3),(5,8,2),(5,9,9),
                            (6,7,4),(6,9,6),
                            (7,9,3),(7,10,1),
                            (8,9,7),(8,11,9),
                            (9,10,1),(9,11,2),
                            (10,11,4)])  # 向图中添加多条赋权边: (node1,node2,weight)
print('nx.info:',G1.nodes)  # 返回图的基本信息,nx.info:返回图的基本信息

#=======两个指定顶点之间的最短加权路径===============
minWPath_v1_v11 = nx.dijkstra_path(G1, source=1, target=11)  # 顶点 1 到 顶点 11 的最短加权路径
print("顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径: ", minWPath_v1_v11)
# 两个指定顶点之间的最短加权路径的长度
lMinWPath_v1_v11 = nx.dijkstra_path_length(G1, source=1, target=11)  # 最短加权路径长度
print("顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径长度: ", lMinWPath_v1_v11)

pos = {1: (0,4), 2: (5,7), 3: (5,4), 4: (5,1), 5: (10,7), 6: (10,4), 7: (10,1),
       8: (15,7), 9: (15,4), 10: (15,1), 11: (20,4)}  # 指定顶点位置,以节点为键，位置为值的字典
labels = nx.get_edge_attributes(G1, 'weight')  # 设置边的 labels 为 ‘weight'
nx.draw(G1, pos,node_color = 'r',with_labels=True, font_color='b')  # 绘制无向图,pos 指的是布局
nx.draw_networkx_edge_labels(G1, pos, edge_labels=labels, font_color='y')  # 显示边的权值
plt.show()

1、Python Network（二）绘图draw系列draw()，draw_networkx()，draw_networkx_nodes()，draw_networkx_edges() 

2、用Python的networkx绘制精美网络图

3.5 结果

nx.info: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]
顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径:  [1, 2, 5, 6, 3, 7, 10, 9, 11]
顶点 v1 到 顶点 v11 的最短加权路径长度:  13

 

 

4 参考 

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https://blog.csdn.net/youcans/article/details/118555468