Python Numpy包中的linalg.lstsq()函数与Matlab中 \ 的区别

Python Numpy包中的linalg.lstsq()函数与Matlab中 \ 的区别

起因：将Matlab的代码转换为Python形式的过程中发现这一情况。
经过：根据Python Numpy包中各种操作符与Matlab的对应关系将程序转换完毕后。在测试的时候发现Python结果输出与Matlab的结果并不一致。于是开启调试模式，在分步调试过程中发现是在进行 \ 运算时，Python和Matlab开始出现区别，于是进行分析百度。
已知：A \ B 和 linalg.lstsq(A，B)[0]是对线性方程组 $A_{m\times n}{X}_{n\times k}=B_{m\times k}$求解$X$，这里$A、X、B$分别表示$m\times n,n\times k,和m\times k$矩阵。返回结果为X。当A为方阵时，linalg.lstsq(A，B)改用linalg.solve(A，B)求解。
讨论：

1. $m<n$时，$rank(A)<=n，即未知数的个数>方程组的个数。这时通解X有n-m个基础解系，由不同的基础解系组成的特解有C_n^{n-m}个$

对于Matlab：

clc;
clear;
A  = [1,2,3; 4,5,6];
B = [2,4,5,6; 1,2,3,4];
% X = ?
X = A \ B;
disp(X);

运行程序得X如下图所示：

对于Python：

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B = np.array([[2,4,5,6],[1,2,3,4]])
X = np.linalg.lstsq(A, B, rcond=-1)[0]
print('X value:', X)

运行程序得X如下图所示：

可以看出，由于矩阵A不满秩，使得X存在多个解，这时Matlab和Python返回的解则不相同。通过查阅资料发现，Matlab返回得解是尽可能多0值得解，Python返回得解是最小二乘解（范数最小）。

那么如何让Python返回和Matlab一样的结果呢？

其实很简单，只需要将相应的$x_i$取0即可。以上面为例，
$X[1,:]=0$, 只需要假设$X$相应的行为0即可，这时可以这么操作。

import numpy as np
A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B = np.array([[2,4,5,6],[1,2,3,4]])
x_index = (0, 2)
X = np.zeros((A.shape[1], B.shape[1]))
X[x_index, :] = np.linalg.solve(A[:, x_index], B)
print('X value:', X)

运行程序得X如下图所示：

这时Python返回的$X$和Matlab返回的值一样。

总结：其实对于Matlab和Python的这点区别，对于算法的应用应该区别不大，想返回何种解取决于实际问题。