MATLAB之特征值和特征向量

1.定义： 设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零向量x使关系式

(1)

成立，那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量（1）式还可以写为：

（2）

如果想求出矩阵对应的特征值和特征向量就是求式（2）的解了

2.特征值和特征向量的相关函数

（1）eig(A)：求包含矩阵A的特征值的向量

>> A=[3 -1;-1 3];
eig(A)%求包含矩阵A的特征值的向量

ans =

     2
     4

（2）[X,D]=eig(A):产生一个矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵X，它们的列是相应的特征向量，满足 AX=XD。为了得到有更好条件特征值的矩阵，要进行相似变换。
（3）[T,B]=balance(A):找到一个相似变换矩阵T和矩阵B，使得它们满足B=T-AT;B是用命balance求得的平衡矩阵。
(4)eig(A, "nobalance'):不经过平衡处理求得矩阵 A 的特征值和特征向量，也就是不进行平衡相似变换。
(5)eigs(A):返回一个由矩阵A的部分特征值组成的向量，和 eig命令一样，但是不返回全部的特征值。如果不带有参量，则计算出最大的特征值。当计算所有特征值时，如果矩阵A的秩不小于6，则计算出6个特征值。
(6)eigs(f,n):求出矩阵A 的部分特征值。在使用一个矩阵列的线性运算符时，字符串f中包含的是M文件的文件名，n指定问题的阶次。用这种方法来求特征值比开始就用运算符来求要快。
(7)eigs(A,B,k,sigma):求矩阵A的部分特征值，矩阵B的大小和A相同;如果没有给B=eye(size(A))，那么k就是要计算的特征值的个数;如果k没有给出，就用小于6的数或者A的秩。
变量sigma是一个实数或者复数的移位参数，或者下列文本字符串中的一个，文本字符串指明的是特征值的属性:“Im”为最大的特征值，“sm”为最小的特征值，“lr”为最大的实数部分，“sr”为最小的实数部分，“be”为同时求得最大和最小的实数部分。
(8)condeig(A):返回一个由矩阵A的特征值条件数组成的向量。
(9)[V,D,s]=condeig(A):返回[V,D]=eig(A)和s=condeig(A)。