动态规划（Python）

一、动态规划

1、动态规划的定义

动态规划是将原始问题划分为若干个子问题，通过仅求解每个子问题一次，并将其结果保存在一个表结构中，以后用到的时候直接存取的方法。

2、适用于动态规划的问题

① 优化子结构

优化子结构，即一个问题的优化解包含了子问题的优化解。

② 重叠子问题

在问题求解过程中，很多子问题的解被多次使用。

3、动态规划算法步骤

① 分析优化解的结构

② 建立状态转移方程（递归方程）

③ 自底向上地求解各个子问题

一是计算优化解的代价并保存

二是获取构造最优解的信息并保存

④ 根据构造最优解的信息来构造优化解

二、动态规划求解0-1背包问题

给定n种物品和一个背包，物品i的重量是， 价值 , 背包承重为C, 问如何选择装入背包的物品，使装入背包中的物品的总价值最大？

以下方算例为例，求解0-1背包问题。

物品	重量	价值
1	2	6
2	2	3
3	6	5
4	5	4
5	4	6

背包最大承重C为10。

1、基本模型

① 分析优化解结构

（1） 

（2）  

（3） 

子问题v[i][j]表示只允许前i件物品放入容量为j的背包内可以获得的最大价值。

② 建立状态转移方程

（1） 第一种情况

若第i件物品重量大于背包最大承重j，那么该子问题转化为前i-1件物品放入容量j背包内可以获得的最大价值，即

v[i][j] = v[i-1][j]

（2） 第二种情况

若第i件物品重量小于等于背包最大承重j，那么该子问题转化为 前i-1件物品放入容量j背包内可以获得的最大价值 与 前i-1件物品放入容量为j-背包内可以获得的最大价值 的最大值，即

v[i][j] = max {v[i-1][j],v[i-1][j-]}

 ③ 自底向上地求解各个子问题

一是计算优化解的代价并保存

二是获取构造最优解的信息并保存

④ 根据构造最优解的信息来构造优化解

该问题最优解的值即为v[n][C]

2、代码求解

import numpy as np


# 求解0-1背包问题:n为物品数量；weight为背包最大承重；
# weight_list为物品重量表；value_list为物品价值表；
def bag(n, weight, weight_list, value_list):
    # value_mat保存最优解的代价
    value_mat = np.zeros((n + 1, weight + 1))
    # object_mat保存获取最优解的信息
    object_mat = [[] for i in range(n + 1)]
    # 自底向上地求解各个子问题
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(weight + 1):
            # 第一种情况
            if weight_list[i - 1] > j:
                value_mat[i][j] = value_mat[i - 1][j]
                object_mat[i].append(0)
            # 第二种情况
            else:
                if value_mat[i - 1][j] >= value_list[i - 1] + value_mat[i - 1][j - weight_list[i - 1]]:
                    value_mat[i][j] = value_mat[i - 1][j]
                    object_mat[i].append(0)
                else:
                    value_mat[i][j] = value_list[i - 1] + value_mat[i - 1][j - weight_list[i - 1]]
                    object_mat[i].append(i)
    # 求解该问题的最优解
    best_value = value_mat[n][weight]
    object_list = []
    x = n
    y = weight
    # 求解获取该问题最优解的信息
    while x > 0 and y > 0:
        if object_mat[x][y] != 0:
            object_list.append(object_mat[x][y])
            x -= 1
            y -= weight_list[x - 1]
        else:
            x -= 1
    object_list.reverse()
    # 返回最优解及其信息
    return best_value, object_list


# 求解该算例
value, objects = bag(5, 10, [2, 2, 6, 5, 4], [6, 3, 5, 4, 6])
print(value, objects)

3、输出结果

15.0 [1, 2, 5]