Frobenius标准型与Jordan标准型总结
1.数域不同
Frobenius标准型：任意数域P
Jordan标准型：复数域
Jordan标准型，可以形式化理解为把Frobenius标准型中的d(λ)继续分解,进而细化到一次因式的乘机，因此Frobenius标准型为任意数域，Jordan标准型为复数域
2.小块性质
Frobenius块性质：
行列式因子：1….1, d(λ)
不变因子为：1….1, d(λ)
特征多项式：d(λ)
最小多项式：d(λ)
Jordan块：
行列式因子：1….1, 
不变因子：1….1,
初等因子：
特征多项式：
最小多项式：
两种块的区别：
Frobenius块与不变因子d(λ)一一对应，其中deg(d(λ))为Frobenius阶数
Jordan块与初等因子(λ-λ0)^k一一对应，k为Jordan块阶数，λ0为主对角线元素
3.标准型
Jordan标准型被复矩阵A的初等因子组唯一确定，块数等于初等因子个数，每块阶数等于相应初等因子幂次
Frobenius标准型被任意数域P上矩阵A的非1不变因子唯一确定，块数等于非1不变因子个数，每块阶数等于相应非1不变因子次数
4.应用
Frobenius标准型：
A的Frobenius标准型为对角形等价于A=aE
A有互不相同的特征值等价于Frobenius标准型由1块组成
Jordan标准型
下列等价（λ矩阵判断对角化）
1．复矩阵A可对角化，即Jordan标准型为对角型
2．A的初等因子全为1次
3．A的极小多项式无重根，即为两两互素一次因式的乘积
下列等价
1．复矩阵A相似于数量阵aE,即Jordan标准型为aE
2．A的初等因子全为1次且相同
3．A的极小多项式为一次因式
5.Jordan标准型应用
由Jordan标准型，可得到A的：
特征值，迹，行列式，秩
初等因子，不变因子，行列式因子，极小多项式，特征多项式