可解释性研究 -LRP-for-LSTM

LRP算法也是可解释算法的一种，全称Layer-wise Relevance Propagation，原始LRP算法主要是应用在CV等领域，针对NLP中通过Word2Vec等手段将token转化为分布式词向量并通过RNN向量化文档的可解释手段真不多。LIME虽然可以针对文本数据进行解释，但适用场景是tf-idf或者bag-of-word这种词向量，向量中一个维度代表一个词。

这里参考的论文是Explaining Recurrent Neural Network Predictions in Sentiment Analysis，作者将LRP算法扩展到LSTM中，这里应用的任务是一个5分类情感任务，输入一个词序列，输出这句话属于哪个类别，LRP算法输出序列中哪几个词是重点。

代码开源到github，但是这里作者用numpy实现了个LSTM，并用LRP解释。如何添加对pytorch，keras框架还没人做过。先来研究下内部实现。

一.LSTM

1.1.理论部分

关于LSTM可以参考LSTM详解，这里为了跟作者的代码同步，再提几句。LSTM大致结构如下

这里模型每一个时间步的输出为 $h_t$，从t - 1时刻到t时刻可以用 $C_t,h_t=LSTMCell(C_{t-1},h_{t-1},x_t)$ 表示，$x_t$ 是输入向量，$W_f,W_i,W_o,W_g,b_f,b_i,b_o,b_g$ 均为模型参数（模型参数写法有很多种，作者代码实现的就有些区别）。

• $x_t\in R^e$
• $h_t\in R^d$
• $C_t\in R^d$
• $W_f,W_i,W_o,W_g\in R^{(d+e)\times d}$
• $b_f,b_i,b_o,b_g\in R^d$
• $f_t,i_t,g_t,o_t\in R^d$

上图

• $||$ 表示concat操作，$||(h_{t-1},x_t)=[h_{t-1};x_t]$
• $\sigma$ 表示sigmoid，箭头线带2个参数+sigmoid表示 $\sigma (W.[h_{t-1};x_t]+b)$
• $tanh$ 表示tanh激活函数
• $+$ 表示向量加法
• $\times$ 表示向量乘法，这里相乘的元素都是1维向量，计算结果是对应位置的元素相乘，依旧是1维向量，比如 $[1,2,3]\times [4,5,6]=[4,10,18]$

这里就把上面涉及的公式总结下，要是觉得多余了就直接往下翻

• $f_t=\sigma (W_f.[h_{t-1};x_t]+b_f)$
• $i_t=\sigma (W_i.[h_{t-1};x_t]+b_i)$
• $g_t=tanh(W_g.[h_{t-1};x_t]+b_g)$
• $o_t=\sigma (W_o.[h_{t-1};x_t]+b_o)$
• $C_t=C_{t-1}\times f_t+i_t\times g_t$
• $h_t=o_t\times tanh(C_t)$

针对双向LSTM，假设输入序列长度为 $T$，那么最终输出 $c$
$$c=W_{left}.h_{left}^T+W_{right}.h_{right}^T$$

• $c\in R^C$，$C$ 为类别数
• $W_{left},W_{right}\in R^{C\times d}$

1.2.作者代码

class LSTM_bidi:
    def __init__(self, model_path='./model/'):
        """
        Load trained model from file.
        """
        # vocabulary
        f_voc = open(model_path + "vocab", 'rb')
        self.voc  = pickle.load(f_voc)
        f_voc.close()
        
        # word embeddings
        self.E    = np.load(model_path + 'embeddings.npy', mmap_mode='r') # shape V*e
        
        # model weights
        f_model   = open(model_path + 'model', 'rb')
        model     = pickle.load(f_model)
        f_model.close()
        # LSTM left encoder
        self.Wxh_Left  = model["Wxh_Left"]  # shape 4d*e
        self.bxh_Left  = model["bxh_Left"]  # shape 4d 
        self.Whh_Left  = model["Whh_Left"]  # shape 4d*d
        self.bhh_Left  = model["bhh_Left"]  # shape 4d  
        # LSTM right encoder
        self.Wxh_Right = model["Wxh_Right"]
        self.bxh_Right = model["bxh_Right"]
        self.Whh_Right = model["Whh_Right"]
        self.bhh_Right = model["bhh_Right"]   
        # linear output layer
        self.Why_Left  = model["Why_Left"]  # shape C*d
        self.Why_Right = model["Why_Right"] # shape C*d

这里作者实现的是双向LSTM，一个left，一个right，我们只关注其中一个，left。可以看到作者这里并没有定义concat操作，而是对参数进行了重组，之前的 $W_f,W_i,W_g,W_o$ 重组成了 $W_{xh}$ 和 $W_{hh}$，一个用来与 $x_t$ 运算一个用来与 $h_{t-1}$ 运算。$W_{xh}$ 包括了 $W_f,W_i,W_g,W_o$ 中与 $x_t$ 运算的部分而 $W_{hh}$ 包括了与 $h_{t-1}$ 运算的部分。

    def forward(self):
        """
        Standard forward pass.
        Compute the hidden layer values (assuming input x/x_rev was previously set)
        """
        print(f"x.shape:{self.x.shape}")
        T = len(self.w)
        d = int(self.Wxh_Left.shape[0]/4)
        # gate indices (assuming the gate ordering in the LSTM weights is i,g,f,o):     
        idx = np.hstack((np.arange(0,d), np.arange(2*d,4*d))).astype(int) # indices of gates i,f,o together
        idx_i, idx_g, idx_f, idx_o = np.arange(0,d), np.arange(d,2*d), np.arange(2*d,3*d), np.arange(3*d,4*d) # indices of gates i,g,f,o separately
          
        # initialize
        self.gates_xh_Left = np.zeros((T, 4*d))
        self.gates_hh_Left = np.zeros((T, 4*d))
        self.gates_pre_Left = np.zeros((T, 4*d))  # gates pre-activation
        self.gates_Left = np.zeros((T, 4*d))  # gates activation
        
        self.gates_xh_Right = np.zeros((T, 4*d))  
        self.gates_hh_Right = np.zeros((T, 4*d)) 
        self.gates_pre_Right= np.zeros((T, 4*d))
        self.gates_Right = np.zeros((T, 4*d))
             
        for t in range(T): 
            self.gates_xh_Left[t] = np.dot(self.Wxh_Left, self.x[t])
            self.gates_hh_Left[t] = np.dot(self.Whh_Left, self.h_Left[t-1])
            self.gates_pre_Left[t] = self.gates_xh_Left[t] + self.gates_hh_Left[t] + self.bxh_Left + self.bhh_Left
            self.gates_Left[t,idx] = 1.0/(1.0 + np.exp(- self.gates_pre_Left[t,idx])) # it, ft, ot = sigmoid(it), sigmoid(ft), sigmoid(ot)
            self.gates_Left[t,idx_g] = np.tanh(self.gates_pre_Left[t,idx_g])  # g_t = tanh(g_t)
            self.c_Left[t] = self.gates_Left[t,idx_f]*self.c_Left[t-1] + self.gates_Left[t,idx_i]*self.gates_Left[t,idx_g]  # ct = ft * ct-1 + it * gt
            self.h_Left[t] = self.gates_Left[t,idx_o]*np.tanh(self.c_Left[t]) # ht = ot * tanh(ct)
            
            self.gates_xh_Right[t] = np.dot(self.Wxh_Right, self.x_rev[t])
            self.gates_hh_Right[t] = np.dot(self.Whh_Right, self.h_Right[t-1])
            self.gates_pre_Right[t] = self.gates_xh_Right[t] + self.gates_hh_Right[t] + self.bxh_Right + self.bhh_Right
            self.gates_Right[t,idx] = 1.0/(1.0 + np.exp(- self.gates_pre_Right[t,idx]))
            self.gates_Right[t,idx_g] = np.tanh(self.gates_pre_Right[t,idx_g])                 
            self.c_Right[t] = self.gates_Right[t,idx_f]*self.c_Right[t-1] + self.gates_Right[t,idx_i]*self.gates_Right[t,idx_g]
            self.h_Right[t] = self.gates_Right[t,idx_o]*np.tanh(self.c_Right[t])
            
        self.y_Left  = np.dot(self.Why_Left,  self.h_Left[T-1])
        self.y_Right = np.dot(self.Why_Right, self.h_Right[T-1])
        self.s = self.y_Left + self.y_Right
        
        return self.s.copy() # prediction scores

这里重点看for循环，并且只关注left结尾的变量。

• for循环第4句self.gates_Left[t,idx] = 1.0/(1.0 + np.exp(- self.gates_pre_Left[t,idx])) 对应 $f_t=\sigma (W_f.[h_{t-1};x_t]+b_f)$ ，$i_t=\sigma (W_i.[h_{t-1};x_t]+b_i)$ 和 $o_t=\sigma (W_o.[h_{t-1};x_t]+b_o)$。
• 第5句self.gates_Left[t,idx_g] = np.tanh( self.gates_pre_Left[t,idx_g] ) 对应 $g_t=tanh(W_g.[h_{t-1};x_t]+b_g)$。

二.LRP_for_LSTM

2.1.理论部分

在NLP任务中，每个词会首先用分布式词向量向量化，因此传统的给每个特征分配权值的方式在这里不太适用，作者这里针对每个词分配权重，计算方式就是将词向量的每个维度的权值相加，比如输入序列shape $[8,60]$，8个词，每个词向量60维。LRP算法计算结果shape = $[8,60]$，经过一个sum之后成了 [8,]，即为每个词分配权值。

作者认为LSTM和GRU中存在2种运算，Weighted Connections和Multiplicative Interactions

2.2.1.Weighted Connections

下图红框展现上面LSTM图中的Weighted Connections部分

Weighted Connections中基础运算依旧是 $y=\sigma (W.x+b)$，这里作者避免显式引入非线性激活函数，所以在论文中很多公式没有带激活函数，但是，如果有激活函数，那么激活值采用激活函数之后的。假设前向计算有 $z_j={\sum }_i{z}_i.{\omega }_{ij}+b_j$，这里如果引入激活函数，$z_j$ 就是被激活函数激活后的值，$i$ 是 $j$ 的前置神经元，LRP针对 $j$ 的relevance计算结果为 $R_j$，那么 $j\to i$ 的relevance 。

$$R_{i\leftarrow j}=\frac{z_i.{\omega }_{ij}+\frac{ϵ.sign(z_i)+\delta .b_j}{N}}{z_j+ϵ.sign(z_j)}.R_j$$

$$R_i=\sum _j{R}_{i\leftarrow j}$$

这里作者设置 $ϵ=0.001,\delta =1.0,N$ 是对应神经网络层拥有的神经元数量，$sign$ 函数就是非负转1，负转-1的函数。

这里记 $R_j\to R_i$ 为 $LL$ (LRP_Linear)

2.2.2.Multiplicative Interactions

Multiplicative Interactions这个概念要和RNN中门的概念结合起来，下面红框框出的是Multiplicative Interactions部分。

LSTM和GRU中还有一种计算: $z_j=z_g.z_s$。通常称为门，上图红框框出的部分，通常一个操作数值在 $[0,1]$ 之间（连接sigmoid），起到一个门的作用，作者称之为 gate neuron $z_g$，另一个称为 source neuron $z_s$。

• 在 $C_{t-1}\times f_t$ 中，$f_t$ 为 $z_g$，$C_{t-1}$ 为 $z_s$。
• 在 $i_t\times g_t$ 中，$i_t$ 为 $z_g$，$g_t$ 为 $z_s$。
• 在 $o_t\times tanh(C_t)$ 中，$o_t$ 为 $z_g$，$tanh(C_t)$ 为 $z_s$。

对于这种情况

• $R_s=R_j$
• $R_g=0$

等于说在反向运算的时候，绿线标出部分直接清零，计算流图就不包括绿线部分了。Weighted Connections部分只有tanh激活函数参与反向计算。

所以对于上述计算过程可以总结成（无视激活函数，给定 $R_{C_t},R_{h_t}$）：

• $R_{C_{t-1}}=R_{C_{t-1}\times f_t}=LL(C_{t-1}\times f_t,R_{C_t}+R_{h_t})\in R^d$
• $R_{g_t}=R_{g_t\times i_t}=LL(g_t\times i_t,R_{C_t}+R_{h_t})\in R^d$
• $R_{h_{t-1}}=LL(h_{t-1},R_{g_t})\in R^d$
• $R_{x_t}=LL(x_t,R_{g_t})\in R^d$

在 $R$ 向量初始化上，模型最终输出向量 $c=W_{left}.h_{left}^T+W_{right}.h_{right}^T$，这是个5分类任务，如果目标类别是2，那么 $R^c=[0,0,1,0,0]$ ，其余均初始化0。

2.2.作者代码

LRP函数：

    def lrp(self, w, LRP_class, eps=0.001, bias_factor=0.0):
        """
        Layer-wise Relevance Propagation (LRP) backward pass.
        Compute the hidden layer relevances by performing LRP for the target class LRP_class
        (according to the papers:
            - https://doi.org/10.1371/journal.pone.0130140
            - https://doi.org/10.18653/v1/W17-5221 )
        """
        # forward pass
        self.set_input(w)
        self.forward() 
        
        T      = len(self.w)
        d      = int(self.Wxh_Left.shape[0]/4)
        e      = self.E.shape[1] 
        C      = self.Why_Left.shape[0]  # number of classes
        idx    = np.hstack((np.arange(0,d), np.arange(2*d,4*d))).astype(int) # indices of gates i,f,o together
        idx_i, idx_g, idx_f, idx_o = np.arange(0,d), np.arange(d,2*d), np.arange(2*d,3*d), np.arange(3*d,4*d) # indices of gates i,g,f,o separately
        
        # initialize
        Rx       = np.zeros(self.x.shape)
        Rx_rev   = np.zeros(self.x.shape)
        
        Rh_Left  = np.zeros((T+1, d))
        Rc_Left  = np.zeros((T+1, d))
        Rg_Left  = np.zeros((T,   d)) # gate g only
        Rh_Right = np.zeros((T+1, d))
        Rc_Right = np.zeros((T+1, d))
        Rg_Right = np.zeros((T,   d)) # gate g only
        
        Rout_mask            = np.zeros((C))
        Rout_mask[LRP_class] = 1.0  
        
        # format reminder: lrp_linear(hin, w, b, hout, Rout, bias_nb_units, eps, bias_factor)
        Rh_Left[T-1]  = lrp_linear(self.h_Left[T-1],  self.Why_Left.T , np.zeros((C)), self.s, self.s*Rout_mask, 2*d, eps, bias_factor, debug=False)
        Rh_Right[T-1] = lrp_linear(self.h_Right[T-1], self.Why_Right.T, np.zeros((C)), self.s, self.s*Rout_mask, 2*d, eps, bias_factor, debug=False)
        
        for t in reversed(range(T)):
            Rc_Left[t]   += Rh_Left[t]
            Rc_Left[t-1]  = lrp_linear(self.gates_Left[t,idx_f]*self.c_Left[t-1],         np.identity(d), np.zeros((d)), self.c_Left[t], Rc_Left[t], 2*d, eps, bias_factor, debug=False)
            Rg_Left[t]    = lrp_linear(self.gates_Left[t,idx_i]*self.gates_Left[t,idx_g], np.identity(d), np.zeros((d)), self.c_Left[t], Rc_Left[t], 2*d, eps, bias_factor, debug=False)
            Rx[t]         = lrp_linear(self.x[t],        self.Wxh_Left[idx_g].T, self.bxh_Left[idx_g]+self.bhh_Left[idx_g], self.gates_pre_Left[t,idx_g], Rg_Left[t], d+e, eps, bias_factor, debug=False)
            Rh_Left[t-1]  = lrp_linear(self.h_Left[t-1], self.Whh_Left[idx_g].T, self.bxh_Left[idx_g]+self.bhh_Left[idx_g], self.gates_pre_Left[t,idx_g], Rg_Left[t], d+e, eps, bias_factor, debug=False)
            
            Rc_Right[t]  += Rh_Right[t]
            Rc_Right[t-1] = lrp_linear(self.gates_Right[t,idx_f]*self.c_Right[t-1],         np.identity(d), np.zeros((d)), self.c_Right[t], Rc_Right[t], 2*d, eps, bias_factor, debug=False)
            Rg_Right[t]   = lrp_linear(self.gates_Right[t,idx_i]*self.gates_Right[t,idx_g], np.identity(d), np.zeros((d)), self.c_Right[t], Rc_Right[t], 2*d, eps, bias_factor, debug=False)
            Rx_rev[t]     = lrp_linear(self.x_rev[t],     self.Wxh_Right[idx_g].T, self.bxh_Right[idx_g]+self.bhh_Right[idx_g], self.gates_pre_Right[t,idx_g], Rg_Right[t], d+e, eps, bias_factor, debug=False)
            Rh_Right[t-1] = lrp_linear(self.h_Right[t-1], self.Whh_Right[idx_g].T, self.bxh_Right[idx_g]+self.bhh_Right[idx_g], self.gates_pre_Right[t,idx_g], Rg_Right[t], d+e, eps, bias_factor, debug=False)
                   
        return Rx, Rx_rev[::-1,:], Rh_Left[-1].sum()+Rc_Left[-1].sum()+Rh_Right[-1].sum()+Rc_Right[-1].sum()

lrp_linear函数

def lrp_linear(hin, w, b, hout, Rout, bias_nb_units, eps, bias_factor=0.0, debug=False):
    """
    LRP for a linear layer with input dim D and output dim M.
    Args:
    - hin: forward pass input, of shape (D,)
    - w: connection weights, of shape (D, M)
    - b: biases, of shape (M,)
    - hout: forward pass output, of shape (M,) (unequal to np.dot(w.T,hin)+b if more than one incoming layer!)
    - Rout:           relevance at layer output, of shape (M,)
    - bias_nb_units:  total number of connected lower-layer units (onto which the bias/stabilizer contribution is redistributed for sanity check)
    - eps:            stabilizer (small positive number)
    - bias_factor:    set to 1.0 to check global relevance conservation, otherwise use 0.0 to ignore bias/stabilizer redistribution (recommended)
    Returns:
    - Rin:            relevance at layer input, of shape (D,)
    """
    sign_out = np.where(hout[na,:]>=0, 1., -1.) # shape (1, M)
    numer = (w * hin[:,na]) + ( bias_factor * (b[na,:]*1. + eps*sign_out*1.) / bias_nb_units ) # shape (D, M)
    # Note: here we multiply the bias_factor with both the bias b and the stabilizer eps since in fact
    # using the term (b[na,:]*1. + eps*sign_out*1.) / bias_nb_units in the numerator is only useful for sanity check
    # (in the initial paper version we were using (bias_factor*b[na,:]*1. + eps*sign_out*1.) / bias_nb_units instead)
    denom = hout[na,:] + (eps*sign_out*1.)   # shape (1, M)
    message = (numer/denom) * Rout[na,:]       # shape (D, M)
    Rin = message.sum(axis=1)              # shape (D,)
    if debug:
        print("local diff: ", Rout.sum() - Rin.sum())
    # Note: 
    # - local  layer   relevance conservation if bias_factor==1.0 and bias_nb_units==D (i.e. when only one incoming layer)
    # - global network relevance conservation if bias_factor==1.0 and bias_nb_units set accordingly to the total number of lower-layer connections 
    # -> can be used for sanity check
    return Rin

lrp_linear针对神经网络中每一个线性操作 $y=W.x+b$，给定 $y$ 处relevance $R_y$，计算 $x$ 处值 $R_x$，numer对应 $z_i.{\omega }_{ij}+\frac{ϵ.sign(z_i)+\delta .b_j}{N}$，denom对应 $z_j+ϵ.sign(z_j)$。

回到LRP函数，针对 $C_t,h_t=LSTMCell(C_{t-1},h_{t-1},x_t)$,，给定 $C_t$ 的relevance值 $R_{C_t}$ 和 $h_t$ 的relevance值 $R_{h_t}$ ，需要计算 $R_{x_t},R_{h_{t-1}},R_{C_{t-1}}$。相应计算如下：

Rc_Left[t]   += Rh_Left[t]
Rc_Left[t-1]  = lrp_linear(self.gates_Left[t,idx_f]*self.c_Left[t-1],         np.identity(d), np.zeros((d)), self.c_Left[t], Rc_Left[t], 2*d, eps, bias_factor, debug=False)
Rg_Left[t]    = lrp_linear(self.gates_Left[t,idx_i]*self.gates_Left[t,idx_g], np.identity(d), np.zeros((d)), self.c_Left[t], Rc_Left[t], 2*d, eps, bias_factor, debug=False)
Rx[t]         = lrp_linear(self.x[t],        self.Wxh_Left[idx_g].T, self.bxh_Left[idx_g]+self.bhh_Left[idx_g], self.gates_pre_Left[t,idx_g], Rg_Left[t], d+e, eps, bias_factor, debug=False)
Rh_Left[t-1]  = lrp_linear(self.h_Left[t-1], self.Whh_Left[idx_g].T, self.bxh_Left[idx_g]+self.bhh_Left[idx_g], self.gates_pre_Left[t,idx_g], Rg_Left[t], d+e, eps, bias_factor, debug=False)

再给一个LSTM图

红色线条表示 $R_{C_{t-1}}$ 和 $R_{g_t}$ 的计算流程，绿色线条表示 $R_{x_t}$ 和 $R_{h_{t-1}}$ 的计算流程。

三.扩展到GRU

3.1.GRU

流程如下：

涉及到的输入和模型参数：

• $x_t\in R^e$
• $h_t\in R^d$
• $W_r,W_z,W_h\in R^{(d+e)\times d}$
• $b_r,b_z,b_h\in R^d$
• $r_t,z_t,h_t\in R^d$

计算过程：

• $r_t=\sigma (W_r.[h_{t-1};x_t]+b_r)$
• $z_t=\sigma (W_z.[h_{t-1};x_t]+b_z)$
• $h_t=tanh(W_h.[r_t\times h_{t-1};x_t]+b_h)$
• $h_t=(1-z_t)\times h_{t-1}+z_t\times h_t$

3.2.GRU的Relevance计算部分

按照前面的理论，$R_{x_t}$ 和 $R_{h_{t-1}}$ 的计算过程按绿线所示反向进行，因为红框乘法部分 $z_g$ 会被忽略掉，所以指挥按一个流程进行。

四.参考文献

[1] Arras, L. , et al. “Explaining Recurrent Neural Network
Predictions in Sentiment Analysis.” EMNLP’17 Workshop on Computational
Approaches to Subjectivity, Sentiment & Social Media Analysis 2017.