【矩阵论】04——线性空间——子空间

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本系列文章使用的教材为《矩阵论》（第二版），杨明，刘先忠编，华中科技大学出版社。

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为什么引入子空间

线性空间Vn(F)中的V是一个集合，集合的子集会设计并交等运算关系，在讨论这些关系的性质时，需要引入新的概念。

 

子空间定义

从定义，我们注意几点：

• W是V的非空子集

• W对V空间定义的加法和数乘封闭

注：两个平凡子空间：一个是V自身，还有一个是零元即w={0}。

判定W是V的子空间

• 证明W对V空间定义的加法和数乘封闭

 

两个特殊的子空间——零空间与列空间

• 零空间:N(A)

• 列空间:R(A)

也就是说

1. 零空间是AX=0的解空间，要求N(A)只要求基础解系

2. 列空间是A的值域，n个m维的列向量。

 

子空间的运算

• W1∩W2，W1∪W2，W1+W2

注意：

• 因为W1∩W2仍然是一个子空间，所以0∈W1∩W2，即W1∩W2≠Ф

• W1∪W2不是V的子空间。

 

维数公式

特殊情况：当dim(W1∩W2)={0}，因为dim({0})=0，所以dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)。

 

其实这种特殊情况就是直和子空间，下面我们来看一看定义。

 

此定义与和空间的定义是多了一个特殊条件dim(W1∩W2)={0}。

对于直和子空间有以下等价条件