武器分配问题(WTA)
问题
如何合理地对敌方目标分配武器，使得敌方的生存率最小(或毁伤率最大)。只讨论静态WTA问题，即每个武器最多只能攻击一次。问题给出每个目标的价值权重和每个武器对每个目标的毁伤率。
非线性建模
变量
二值变量 x i j x_{ij} xij表示武器 i i i是否攻击目标 j j j，若攻击则为 1 1 1，不攻击则为 0 0 0。
目标函数
M i n ∑ j = 1 n W j [ ∏ i = 1 m ( 1 − p i j x i j ) ] Min \sum_{j=1}^n W_{j} [ \prod_{i=1}^{m}(1-p_{ij}x_{ij})] Minj=1∑nWj[i=1∏m(1−pijxij)]
约束
∑ j = 1 n x i j ≤ 1 , i = 1 , 2 , . . . , m \sum_{j=1}^nx_{ij} \le 1,i=1,2,...,m j=1∑nxij≤1,i=1,2,...,m
x i j ∈ { 0 , 1 } , i = 1 , 2 , . . . , m , j = 1 , 2 , . . . , n x_{ij} \in \lbrace 0,1 \rbrace,i=1,2,...,m,j=1,2,...,n xij∈{0,1},i=1,2,...,m,j=1,2,...,n
线性建模
用二进制数来编码武器对目标的分配，设 s j s_j sj表示目标 j j j的状态，则敌方目标 j j j在状态 s j s_j sj下的生存概率为
P s j = ∏ i = 1 m [ 1 − p i j ⋅ g e t B i n B i t ( s j , i ) ] , s j = 0 , . . . , 2 m − 1 P_{s_j}= \prod_{i=1}^m[1-p_{ij} \cdot getBinBit(s_j,i)],s_j=0,...,2^m-1 Psj=i=1∏m[1−pij⋅getBinBit(sj,i)],sj=0,...,2m−1
变量
二值变量 y j , s j y_{j,s_{j}} yj,sj表示目标 j j j是否处于状态 s j s_j sj，若处于则为1，否则为0。
目标函数
M i n ∑ j = 1 n W j ∑ s j = 0 2 m − 1 ( y j , s j ⋅ P s j ) Min \sum_{j=1}^n W_j \sum_{s_j=0}^{2^m-1}(y_{j,s_j} \cdot P_{s_j}) Minj=1∑nWjsj=0∑2m−1(yj,sj⋅Psj)
约束
∑ j = 1 n ∑ s j = 0 2 m − 1 g e t B i n B i t ( s j , i ) ⋅ y j , s j ≤ 1 , i = 1 , 2 , . . . , m \sum_{j=1}^n \sum_{s_j=0}^{2^m-1}getBinBit(s_j,i) \cdot y_{j,s_j} \le 1, i=1,2,...,m j=1∑nsj=0∑2m−1getBinBit(sj,i)⋅yj,sj≤1,i=1,2,...,m
∑ s j = 0 2 m − 1 y j , s j = 1 , j = 1 , 2 , . . . , m \sum_{s_j=0}^{2^m-1}y_{j,s_j}=1,j=1,2,...,m sj=0∑2m−1yj,sj=1,j=1,2,...,m
y j , s j ∈ { 0 , 1 } , j = 1 , 2 , . . . , n , s j = 0 , . . . , 2 m − 1 y_{j,s_j} \in \lbrace 0,1 \rbrace ,j=1,2,...,n,s_j=0,...,2^m-1 yj,sj∈{0,1},j=1,2,...,n,sj=0,...,2m−1