【算法笔记】bash博弈（巴什博奕）

基础版

抛一道题解释：
虽然不想，但是现实总归是现实，Lele始终没有逃过退学的命运，因为他没有拿到奖学金。现在等待他的，就是像FarmJohn一样的农田生涯。

要种田得有田才行，Lele听说街上正在举行一场别开生面的拍卖会，拍卖的物品正好就是一块20亩的田地。于是，Lele带上他的全部积蓄，冲往拍卖会。

后来发现，整个拍卖会只有Lele和他的死对头Yueyue。

通过打听，Lele知道这场拍卖的规则是这样的：刚开始底价为0，两个人轮流开始加价，不过每次加价的幅度要在1～N之间，当价格大于或等于田地的成本价 M 时，主办方就把这块田地卖给这次叫价的人。

Lele和Yueyue虽然考试不行，但是对拍卖却十分精通，而且他们两个人都十分想得到这块田地。所以他们每次都是选对自己最有利的方式进行加价。

由于Lele字典序比Yueyue靠前，所以每次都是由Lele先开始加价，请问，第一次加价的时候，
Lele要出多少才能保证自己买得到这块地呢？

首先，考虑如何是必败？
先手必败的条件就是M%(N+1)==0
先手为A，后手为B那么A取任意值，只要两人的值恰好为N+1，那么最后一次，无论先手取多少，都会留下一个数小于N
那么，如何赢？

1. 如果M,N一样或者M小于N，那么第一次就可以胜利
2. 如果M比N大，为了保证一定赢，就要出M%(N+1)
   这其实就是强行扭转局势，扭转成先手必败时的后手，即相当于对方先手时候刚好M%(N+1)==0

升级版1——取数可以达到无穷大

大学英语四级考试就要来临了，你是不是在紧张的复习？也许紧张得连短学期的ACM都没工夫练习了，反正我知道的Kiki和Cici都是如此。当然，作为在考场浸润了十几载的当代大学生，Kiki和Cici更懂得考前的放松，所谓“张弛有道”就是这个意思。这不，Kiki和Cici在每天晚上休息之前都要玩一会儿扑克牌以放松神经。
“升级”？“双扣”？“红五”？还是“斗地主”？
当然都不是！那多俗啊~
作为计算机学院的学生，Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：
1、 总共n张牌;
2、 双方轮流抓牌；
3、 每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、 抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？
当然，打牌无论谁赢都问题不大，重要的是马上到来的CET-4能有好的状态。

这时候取牌数可以达到无穷大，那我们就从最简单的必输情况分析
余1——取1
余2——取2
余3——取1输，取2输：必输
余4——取4
余5——取2，余3，对方必输
余6——必输

猜想：当前的n为3的倍数时就必败，否则必胜
证明：当A面临n%3==0时，A必败。

即对任意的k，A拿2^k张后，存在一个数t，使得对手可以拿2^t张，使得剩下的牌n-2^k-2^t依然是3的倍数。
(此时2^k+2^t为3的倍数)
这个一直到最后，n==3时，A就确定为败了。

由于2^k%3==1或2，所以一定可以找得到一个数t，使得2^t+2^k为3的倍数。
则猜想正确。

升级版2——取数范围不定（即广泛应用型）

文本，每行有三个数字n，p，q，表示一堆硬币一共有n枚，从这个硬币堆里取硬币，一次最少取p枚，最多q枚，如果剩下少于p枚就要一次取完。两人轮流取，直到堆里的硬币取完，最后一次取硬币的算输。对于每一行的三个数字，给出先取的人是否有必胜策略，如果有回答WIN，否则回答LOST。
文本长达100000行，每行的三个数字都很大，但是都是不超过65536的整数。

n % (p+q)
对方会一直凑到两者和为p+q，这样余下的就必须一次性取完。